第一章 1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 　 第 一 章 1.1　空间向量及其运算 学习目标 1.了解空间向量的夹角．　 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．　 3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义．　 4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离． 综合应用 知识点二　空间向量的数量积 知识点一　空间向量的夹角 随堂演练 课时精练 内 容 索 引 知识点一　空间向量的夹角 索引 我们在必修第二册“第六章　平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，他们的夹角又该如何定义呢？ 问题导思 新知形成 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 ＝a， ＝b，则__________叫做向量a，b的夹角，记作__________ 范围 _________________ 向量垂直 如果〈a，b〉＝__，那么向量a，b互相垂直，记作a____b ∠AOB 〈a，b〉 0≤〈a，b〉≤π ⊥ 　因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角． 微提醒 例1 连接BD(图略)， 则在正方体ABCD-A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．　　 方法技巧 即时练1.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求下列各对向量的夹角： 索引 知识点二　空间向量的数量积 索引 我们在必修第二册“第六章　平面向量及其应用”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算．类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 问题导思 1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉． 2．数量积的运算律 新知形成 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝__________，λ∈R 交换律 a·b＝______ 分配律 (a＋b)·c＝____________ λ(a·b) b·a a·c＋b·c 3．数量积的性质 a·b＝0 |a||a|cos〈a，a〉 4．投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影 如图②，向量c称为向量a在直线l上的投影． (3)向量a在平面β上的投影 如图③，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′， B′，得到向量 ，则向量 (a′)称为向量a在平面β上的投影向量．向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 微提醒 　　　已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求： 例2 (变条件，变设问)在本例条件下，若E，F分别是OA，OC的中点，求值： 变式探究 求空间向量数量积的步骤 第一步：将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； 第二步：利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； 第三步：代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．　　 方法技巧 即时练2.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算： 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b