第一章 章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

章末综合提升 　 第1章　空间向量与立体几何 提素能　分层突破 单元检测卷 大概念　思维导图 内 容 索 引 大概念　思维导图 索引 索引 提素能　分层突破 索引 素养一　数学运算 　　数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中的数学运算主要涉及以下内容：空间向量的线性运算及其坐标表示，空间向量的数量积及其坐标表示，利用空间向量求空间角及空间距离． 体现一　 空间向量的线性运算 1 体现二　空间向量的数量积运算 2．如图所示，在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°. 体现三　空间角的计算 3．(2021·浙江卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝ ，M，N分别为BC，PC的中 点，PD⊥DC，PM⊥MD. (1)证明：AB⊥PM； 因为底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，BC＝4，AB＝1，且M为BC的中点， 所以CM＝2，CD＝1，∠DCM＝60°， 易得CD⊥DM. 又PD⊥DC，且PD∩DM＝D，PD，DM⊂平面PDM， 所以CD⊥平面PDM. 因为AB∥CD，所以AB⊥平面PDM. 又PM⊂平面PDM，所以AB⊥PM. (2)求直线AN与平面PDM所成角的正弦值． 法一：由(1)知AB⊥平面PDM， 所以∠NAB为直线AN与平面PDM所成角的余角． 连接AM(图略)，因为PM⊥MD，PM⊥DC， 所以PM⊥平面ABCD，所以PM⊥AM. 因为∠ABC＝120°，AB＝1，BM＝2， 法二：因为PM⊥MD，PM⊥DC， 所以PM⊥平面ABCD. 连接AM，则PM⊥AM. 由(1)知CD⊥DM， 过点M作ME∥CD交AD于点E，则ME⊥MD. 故可以以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 素养二　直观想象 　　直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程．本章核心素养——直观想象主要涉及以下内容：利用图形判断或证明空间中直线、平面的位置关系，巧建空间坐标系． 体现四　利用空间向量证明平行、垂直问题 4．如图所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点．求证： (1)MN∥平面PAD； 由题意得AB，AD，AP两两垂直． 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz. 设PA＝AD＝a，AB＝b，则有P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0)，C(b，a，0)，B(b，0，0)． 因为M，N分别为AB，PC的中点， 又因为MN⊄平面PAD， 所以MN∥平面PAD. (2)平面PMC⊥平面PDC. 设平面PMC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 设平面PDC的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 令z2＝1，则n2＝(0，1，1)．因为n1·n2＝0－b＋b＝0，所以n1⊥n2.所以平面PMC⊥平面PDC. 体现五　空间坐标系的建立 5．(2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD； 因为AB＝AD，O为BD的中点，所以OA⊥BD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面BCD， 又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD. (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积． 法一：因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OC＝OB＝OD＝1， 如图，过点E作EF∥AO，交BD于F，过点F作FG⊥BC，垂足为G，连接EG. 因为AO⊥平面BCD， 所以EF⊥平面BCD， 又BC⊂平面BCD，所以EF⊥BC， 又FG⊥BC，且EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG， 所以BC⊥平面EFG， 则∠EGF为二面角E-BC-D的平面角， 所以∠EGF＝45°，则GF＝EF. 因为FG⊥BC，CD⊥BC，所以GF∥CD， 法二：如图所示，以O为坐标原点，OB，OA所在直线分别为x，z轴，在平面BCD内，以过点O且与BD垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系．因为△OCD是边长为1的正三角形，且O为BD的中点，所以OC＝OB＝OD＝1， 由题意可知平面BCD的一个法向量为n＝(0，0，1)． 设平面BCE的法向量为m＝(x，y，z)， 因为二面