第一章 1.4.2 第2课时 夹角问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第2课时　夹角问题 　 第 一 章 1.4　空间向量的应用 学习目标 1.会用向量法求线线、线面、面面夹角．　 2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系．　 3.通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 随堂演练 知识点二　直线与平面所成的角 知识点一　两条异面直线所成的角 综合应用 知识点三　平面与平面所成的角 课时精练 内 容 索 引 知识点一　两条异面直线所成的角 索引 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，如何利用这些条件求异面直线l1，l2所成的角θ？ 问题导思 　　设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos 〈u，v〉|＝________＝_________． 新知形成 不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等同起来，因为两异面直线所成角的范围是 ，而两个向量夹角的范围是[0，π]，事实上，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系． 微提醒 例1 (2)求BE1与DF1所成的角的余弦值． 求异面直线所成的角的方法 1．传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解． 2．向量法：在两异面直线a与b上分别取点A，B和C，D，则 可分别为a，b的方向向量，则cos θ＝ . 方法技巧 运用向量法常有两种途径： (1)基底法：在一些不适合建立坐标系的题型中，我们经常采用取定基底的方法，这是小技巧．在由公式cos 〈a，b〉＝ 求向量a，b的夹角时，关键是求出a·b及|a|与|b|，一般是把a，b用基向量表示出来，再求有关的量． (2)坐标法：根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系，写出相关各点的坐标，利用坐标法求线线角，避免了传统找角或作角的步骤，使过程变得简单． 方法技巧 即时练1.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________． 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，设AB＝1， 索引 知识点二　直线与平面所成的角 索引 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，如何利用这些条件求直线AB与平面α所成的角θ？ 问题导思 　　设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法 向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝_______＝______． 新知形成 微提醒 　　　(2020·新高考Ⅱ卷)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC； 证明：过P在平面PAD内作直线l∥AD， 由AD∥BC，可得l∥BC，即l为平面PAD和平面PBC的交线， 因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC， 又BC⊥CD，CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PDC， 因为l∥BC，所以l⊥平面PDC. 例2 (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝ ，求PB与平面QCD所成角的正弦值． 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz， 因为PD＝AD＝1，Q为l上的点，QB＝ ， 所以PB＝ ，QP＝1， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，B(1，1，0)，作PQ∥AD，则PQ为平面PAD与平面PBC的交线，即为l，因为QB＝ ，△QAB是等腰直角三角形，所以Q(1，0，1)， 设平面QCD的法向量为n＝(a，b，c)， 可得n＝(－1，0，1)， 求直线与平面所成角的思路与步骤 思路一：找直线在平面内的投影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)； 思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量． 利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤： (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量 ； (3)求平面的法向量n； (4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝ .　　 方法技巧 即时练2.已知正三棱柱ABC -A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值． 建立如图所示的空间直角坐标系， 索引 知识点三　平面与平面所成的角 索引 请回答以下问题： 1．两个平面的夹