4.3 对数（单元教学设计）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

4．3 对数（单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 （1）理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 【过程与方法目标】 （1）从“已知底数和幂求指数”的问题出发，经历基于指数幂运算定义对数运算的过程，知道指数式与对数式的对应关系，知道对数是一个符号，表示的是指数幂中的指数，能熟练地进行指、对数式的互化．通过两式的互化，能够得出和证明对数的性质． （2）能依据指数幂的运算性质推导出对数的运算性质，并会用对数的运算性质进行对数的化简、运算． 【情感态度价值观目标】 通过转化思想方法的运用，培养学生转化的思想观念及逻辑思维能力． 二、【单元知识结构框架】 三、【学情分析】 学生已经学习了指数幂的运算，了解了研究一个代数对象的基本路径，因此容易构建本单元的研究路径，在获得研究对象给对数下定义之后，能够提出进一步要研究对数的运算性质等，但是运算性质的推导、特别是换底公式的推导有一定难度，原因是结论未知，类似于结论开放性题目，这是学生不习惯的． 四、【教学设计思路/过程】 课时安排：约2课时 教学重点：对数的概念及其运算性质． 教学难点：对数符号的理解；对数运算性质的得出及换底公式的推导． 教学方法/过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、情景引入，温故知新 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）．他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明．恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就． 【破解方法】开门见山，通过对上节问题的提问和引伸，提出新问题，从而引出对数的概念．培养和发展逻辑推理和数学运算的核心素养． 环节二、抽象概念，内涵辨析 问题1：（1）已知，求，从而引入减法即 （2）已知求，从而引入除法即 （3）已知求，从而引入开方即= （4）已知求，从而引入什么？ 【破解方法】先由学生独立思考、回答，再由师生一起总结，给出对数概念． 【归纳新知】 1、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数． 知识点诠释： 对数式中各字母的取值范围是：且，，． 问题2：有哪些特殊的对数？ 【破解方法】师生活动学生在阅读教科书之后回答． 【归纳新知】 2、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，．以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数，简记为． 问题3：指数、对数之间有怎样的关系?请你尝试用表格或者图来描述． 【破解方法】师生活动学生自主完成，之后展示交流，教师予以完善． 【归纳新知】 3、对数式与指数式的关系 由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 问题4：利用指数、对数的关系，结合指数函数的性质，请你谈谈是否所有的实数都有对数?据此你能得到什么结论? 【破解方法】学生根据定义，依据对数的意义，结合指数函数性质进行分析． 【归纳新知】 4、对数（且）具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即； （2）1的对数为0，即； （3）底的对数等于1，即． 问题5：在引人对数之后，自然就应研究对数的运算性质．我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数数运算性质得出相应的对数运算性质呢? 【破解方法】引导学生在数学运算的研究路径指引下提出问题，并利用数学知识之间的联系进行猜想，为本课的研究做好规划． 问题6：由指数运算性质，你能得出对数的运算性质吗? 【破解方法】这个问题的目标不确定，引导学生利用指数式和对数式之间的关系进行化简，直到将之转化为对数表达的关系即可． 设． 因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得， 问题7：利用指数式和对数式之间的关系，由指数幂的如下运算性质能得到对数运算的什么性质? （1）； （2）． 【破解方法】学生类比完成． （1）设． 因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得， （2）设， 因为，所以． 根据对数与指数间的关系可得， 【归纳新知】 5、对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 问题8：根据对数的定义，你能用表示，且，且吗? 【破解方法】设，则 于是，即， 则 【归纳新知】 6、换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有： （1） 令，则有，，即，即，即：． （2），令，则有，则有 即，即，即 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决