点与直线对称专题 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

专题一：对称问题 【目标引领】 1.学会解决点点、点线、线点、线线对称问题. 2.会应用对称问题解决最值问题和反射问题． 【探究新知】 一、几类常见的对称问题 1．点关于点对称 例1 已知不同的两点P(a,-b)与Q(b+1,a-1)关于点(3,4)对称，则ab= ( ) A.-5 B.14 C.-14 D.5 2.点关于直线对称 例2 点(-2,0)关于直线x-y+1=0对称的点的坐标为( ) A.(2,0) B.(0,2) C.(1,1) D.(-1,-1) 跟踪训练1点A(1,2)关于直线l:2x+y-3=0对称的点的坐标为________ 3.直线关于点对称 例3 直线l:2x+y-3=0关于点A(1,2)对称的方程为__________ 4.直线关于直线对称 例4 已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程为________ 跟踪训练2已知直线l：y＝3x＋3，求： (1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标； (2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程； (3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程． 二、光的反射问题 例2　一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所经过的路程． 跟踪训练2　如图所示，已知点A(4，0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是(　　) A．2 B．6 C．3 D．2 三、利用对称解决有关最值问题 例3　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q.使得： (1)P到A(4,1)与B(0,4)的距离之差最大； (2)Q到A(4,1)与C(3,0)的距离之和最小． 跟踪训练3　已知两点A(1,3)，B(4,5)，动点M在直线y＝x上运动，则|MA|＋|MB|的最小值为________． 2.3.5对称问题课时训练 1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是(　　) A．(－1，－3) B．(17，－9) C．(－1,3) D．(－17,9) 2．直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0 3．若点P(3,4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则(　　) A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1 C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2 4．已知A(3,0)，B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为(　　) A．2 B．6 C．3 D. 5. 已知直线l1:kx+2y-k-4=0横过点M，直线l2：y=x-1上有一动点P,点N的坐标为(4,6)，当取得最小值时，点P的坐标为_________ 6. 设点A(3,5),点B和C分别为直线l：x-2y+2=0和y轴上的两个动点，则△ABC的周长的最小值为_________ 7. 已知直线l经过两条直线l1：x+y-1=0与l2:x-y+5=0的交点P且与直线的夹角为，求直线l的方程. 8. 已知△ABC的顶点A(1,2),AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y-1=0,∠ABC的平分线BH所在的直线方程为y=x,求直线BC的方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$