3.3.1抛物线及其标准方程 学案——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 班级 姓名 【学习目标】 1．通过自学，掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程. 2．通过结合椭圆双曲线的推导过程，掌握抛物线的标准方程推导过程 3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【自学天地】 知识点1 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的____________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的____________，直线l叫做抛物线的____________． 知识点2 抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) ________ ________ y2＝－2px(p>0) ________ ________ x2＝2py(p>0) ________ ________ x2＝－2py(p>0) ________ ________ 注意： 1、 定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线 2、本节的抛物线与初中所学的抛物线形式有差别，注意在考虑抛物线问题时，先化简为抛物线的标准方程 题型 1　抛物线的定义 例1. 已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x轴，求抛物线的方程。 巩固训练1　【变式1】平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。 题型 2　标准方程 例2　已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程。 巩固训练2已知抛物线y2＝2px上的点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝－2x D．y2＝－4x 题型 3　抛物线定义推导 例3 动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程． 巩固训练3　已知动点的坐标满足，则动点的轨迹方程为_____________． 【课堂小练】 1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 A． B． C． D． 2．以双曲线=1的中心为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程是（　 ） A.　　　　B. C. 　　　　　　　D. 3．若抛物线的准线与椭圆的右准线重合，则的值是（ ） A. 　　　　　B. 　　　　　　　C. 　　　D. 4. 某市为庆祝建党100周年，举办城市发展巡展活动，巡展的车队要经过一个隧道，隧道横断面由一段抛物线A1OA及一个矩形A1C1CA的三边组成，尺寸如图(单位：m)． (1)以隧道横断面抛物线的顶点O为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，求该段抛物线A1OA所在抛物线的方程； (2)若车队空车时能通过此隧道，现装载一集装箱，箱宽3 m，车与集装箱总高4.5 m，此车能否安全通过隧道？请说明理由． 参考答案 例1.已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x轴，求抛物线的方程。 【解析】设M（x，y）为抛物线上的任意一点， 则由抛物线的定义，得 两边平方，整理得 ∴所求抛物线的方程为 巩固训练1　平面上动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，求动点P的轨迹方程。 【解析】：设P点的坐标为（x，y），则有， 两边平方并化简得y2=2x+2|x|。 ∴ 即点P的轨迹方程为y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）。 例2．已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程。 【解析】∵抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点， ∴可设它的标准方程为x2=－2py（p＞0）。 ∵点M在抛物线上， ∴，即。 因此所求方程是 巩固训练2 已知抛物线y2＝2px上的点M(2，y0)到该抛物线焦点的距离为3，则抛物线的方程是(　　) A．y2＝2x B．y2＝4x C．y2＝－2x D．y2＝－4x 【解析】：由题意知p>0，则准线为x＝－， 点M(2，y0)到焦点的距离等于其到准线的距离， 即＝3，∴p＝2，则y2＝4x. 例3：动圆P与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且与直线l：x＝1相切，求动圆圆心P的轨迹方程． 【解析】如图，设动圆圆心P(x，y)，过点P作PD⊥l于点D， 作直线l′：x＝2，过点P作PD′⊥l′于点D′，连接PA. 设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r＝1. ∵圆P与圆A外切，∴|PA|＝R＋r＝R＋1. 又