2.5.1直线与圆的位置关系课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1 直线与圆的位置关系 郭 静 四川省仁寿第一中学校北校区 问题1：在平面中，直线与圆的位置关系有几种？ 相交 相切 相离 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 直线与圆的交点个数 2个 1个 0个 几何法：圆心到直线的距离 代数法：联立直线与圆的方程，消元得px2+qx+t=0的解的个数(△的正负) 直线与圆位置关系的判定 问题3: 如何求直线l与圆C的交点坐标？ ① 几何法：计算量小； 代数法：可求交点坐标. 例6.图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度(精确到). 解：建立如图所示的直角坐标系，使线段所在直线为轴，为坐标原点，圆心在轴上.由题意，点，的坐标分别为，.设圆心坐标是，圆的半径是，那么圆的方程是. 下面确定和的值. 例6.图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，求支柱的高度(精确到). 把点的横坐标代入圆的方程，得， 即(的纵坐标，平方根取正值). 所以. 答：支柱的高度约为. 因为，两点都在圆上，所以它们的坐标，都满足方程. 于是，得到方程组解得. 所以，圆的方程是. 例7.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 解：以小岛的中心为原点，东西方向为轴，建立如图 所示的直角坐标系.为了运算的简便，我们取为单 位长度，则港口所在位置的坐标为，轮船所在位置 的坐标为. 这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程 为； 例7.一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 轮船航线所在直线的方程为即 联立直线与圆的方程，得 消去，得. 由，可知方程组无解. 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 例8.已知实数满足方程 (1)求的最大值和最小值； 解：原方程可化为，表示以为圆心， 为半径的圆. (1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设， 即.当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小 值，此时，解得(如图). 所以的最大值为，最小值为. 例9.已知实数满足方程 (2)求的最大值和最小值. 解：原方程可化为，表示以为圆心， 为半径的圆. (2)可看作是直线在轴上的截距， 当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值， 此时，解得(如图). 所以的最大值为，最小值为. 方法技巧： 与圆有关的最值问题的常见解法 (1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. [例2]　求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6＋＝0分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离． [例2]　求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6＋＝0分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离． [例2]　求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6＋＝0分别满足：(1)相交；(2)相切；(3)相离． [练习]　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长. 2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l：kx－y－4k＋3＝0. (1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交； (2)当k取何值时，圆被直线l截得的弦最短？并求最短弦长的值. 3．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点． (1)求k的取值范围；(2) eq \o(OM,\s\up15(―→))·eq \o(ON,\s\up15(―→))＝12，其中O为坐标原点，求|MN|. 作业：1.　过点M(2,4)向圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切线，求切线的方程． $$