重难点01 空间向量解决动点探究问题（满分技巧+10种热点题型+限时检测）-【提分笔记】2023-2024学年高二数学上学期期中期末复习讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

重难点01 空间向量解决动点探究问题 一、与空间向量有关的探索性问题 一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直， 另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或为面交满足特定要求是的存在性问题。 二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路： （1）根据题设条件的垂直关系，建立适当空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。 （2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。 三、动点的设法（减少变量数量） 在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。为了减少变量数量，用以下设法。 1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标； 依据：根据平面向量共线定理—若，使得 【示例】已知，，那么直线上的某点坐标可用一个变量表示， 方法如下：， 因为在上，所以 ∴， 所以可设点. 2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。 依据：平面向量基本定理—若，不共线，则平面上任意一个向量，均存在，，使得 【示例】已知，，，则平面上某点坐标可用两个变量表示， 方法如下：，， 故，即 所以可设点. 【题型1 线线平行中的动点探究】 【例1】（2023·全国·高二课时练习）如图，在四面体ABCD中，E是的中点．直线AD上是否存在点F，使得？ 【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD为梯形．，，且，，．若M是棱PA的中点，则对于棱BC上是否存在一点F，使得MF与PC平行． 【变式1-2】（2023秋·广东广州·高一校考期中）如图，在几何体中，平面平面.四边形为矩形.在四边形中，. （1）点在线段上，且，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （2）若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【变式1-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，已知空间几何体的底面ABCD是一个直角梯形，其中,,,，且底面ABCD，PD与底面成角． （1）若，求该几何体的体积； （2）若AE垂直PD于E，证明：； （3）在（2）的条件下，PB上是否存在点F，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2 线面平行中的动点探究】 【例2】（2023秋·云南大理·高二校考阶段练习）如图所示，正四棱锥为侧棱上的点，且. （1）求证：； （2）在侧棱上是否存在一点,使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式2-1】（2022秋·福建厦门·高二校考阶段练习）如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在线段上，且满足.    （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）在线段是否存在一点，使得平面，若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【变式2-2】（2023·全国·高二专题练习）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为． （1）求； （2）劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 【变式2-3】（2022秋·北京·高二统考期末）如图，在多面体中，平面平面．四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在点，使得直线平面?  若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【题型3 面面平行中的动点探究】 【例3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【题型4 线线垂直中的动点探究】 【例4】（2023秋·河北邢台·高二校联考阶段练习）如图，在所有棱长都为2的正三棱柱中，为的中点．    （1）用以为空间的一组基底表示向量． （2）线段上是否存在一点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【变式4-1】（2023秋·上海·高二校考阶段练习）设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 ． 【变式4-2】（2023秋·广东东莞·高二校考阶段练习）在长方体中，．是线段上的点． （1）若，求证：平面． （2）若，在线段上是否存在点．使，若存在．求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在三棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点． （1）求证：平面平面； （2）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论． 【题型5 线面垂直中的动点探究】 【例5】（2023秋·福建厦门·高二校考阶段练习）如图，在矩形和中，，，，，，，记. （1）将用，，表示出来，并