第2章 习题课 直线与圆锥曲线的综合应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

习题课　直线与圆锥曲线的综合应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.能正确理解直线与圆锥曲线的位置关系． 2．能用直线和圆锥曲线的位置关系解决一些最值、取值范围问题与定点、定值问题． 3．能用直线和圆锥曲线的位置关系解决一些证明问题与探索性问题． 通过直线与圆锥曲线的综合应用的学习，进一步提升直观想象、逻辑推理、数学运算以及数学建模的核心素养． 1．解决圆锥曲线的综合应用问题大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值；或围绕函数思想求取值范围、最值；或根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题． 2．关于椭圆中点弦的重要结论 设AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点M(x0，y0)，则当直线AB的斜率k存在时， (1)k＝－； (2)直线AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－． 3．设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)以弦AB为直径的圆与准线相切； (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)设点P(x0，y0)为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的任一点，则|x0|≥a.(×) (2)椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点到焦点距离的最大值是a＋c.(√) (3)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y2＝2px(p>0)上，且直线AB过抛物线的焦点，则y1y2＝－p2.(√) 2．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·<0，则x0的取值范围是(　　) A．(－，)　　　 B．(－，) C．(－，) D．(－，) A　[由题意可知，F1(－，0)，F2(，0)， 则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0. 由点P在椭圆上，得y＝1－. 故x＋(1－)－3<0.解得－<x0<. 故x0的取值范围是(－，).] 3．在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于t恒成立，则实数t 的最大值为________． 　 [易知双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，则直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行．故两平行线的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于t恒成立，得t≤.故t的最大值为.] 设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点． (1)若P是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值． (2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆交于两个不同点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围． 解　(1)易知a＝2，b＝1，c＝， 所以F1(－，0)，F2(，0). 设P(x，y)，则 ＝(－－x，－y)， ＝(－x，－y). 所以·＝(－－x)(－x)＋y2＝x2＋y2－3＝x2＋1－－3＝(3x2－8). 因为x∈[－2，2]， 所以当x＝0，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值－2； 当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1. (2)显然直线x＝0不满足题设条件， 可设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由消去y，整理，得 (k2＋)x2＋4kx＋3＝0. 因为Δ＝(4k)2－4(k2＋)×3＝4k2－3＞0， 所以k＞或k＜－.① 所以x1＋x2＝－，x1x2＝. 又0°＜∠AOB＜90°，所以cos ∠AOB＞0. 所以·＞0， 即·＝x1x2＋y1y2＞0. 又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋＋4＝， 所以＋＞0，即k2＜4. 所以－2＜k＜2.　② 故由①②得直线l的斜率k的取值范围为(－2，－)∪(，2)． [方法总结]　最值问题的常用解法 1．代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、换元法、均值不等式法、单调性法． 2．几何法：若题目的条件与结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用几何图形的性质来解决． [训练1]　已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率为，点P(0，)到椭圆上的点的最远距离为，求此椭圆的方程． 解　由椭圆中心在原点，长轴在x轴上， 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0). 因为e＝＝，所以＝. 所以b2＝a2－c2＝a2. 故椭圆方程为＋＝1，即x2＋4y2＝a2. 设椭圆上任一点Q(x，y)到点P的