7.3 独立性检验 （Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　独立性检验 3．1　独立性检验 3．2　独立性检验的基本思想 3．3　独立性检验的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义． 2．通过实例，掌握独立性检验的基本思想及其应用． 通过2×2列联表、独立性检验的基本思想及其应用的学习，提升数学抽象、数据分析、数学建模、数学运算的核心素养． 设A，B为两个变量，每个变量都可以取两个值， 变量A：A1，A2＝1； 变量B：B1，B2＝1. 通过观察得到如下表所示的数据： B A　　 B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据． 设n＝a＋b＋c＋d，用估计P(A1B1)，估计P(A1)，估计P(B1). 若有式子＝·，则可以认为A1与B1独立；若＝·，则可以认为A1与B2独立；若＝·，则可以认为A2与B1独立；若＝·，则可以认为A2与B2独立． 根据2×2列联表中的数据来判断两个变量是否有关系，即它们是否独立，这一问题称为2×2列联表的独立性检验． 统计学家选取以下统计量，用它的大小来检验变量之间是否独立： χ2＝n[＋＋＋]. 上面的式子看起来很复杂，但是经过化简可以得到： χ2＝． 统计上已经证明：在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2(1).当χ2较大时，说明变量之间不独立．在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断． (1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； (2)当χ2＞2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联； (3)当χ2＞3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联； (4)当χ2＞6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)2×2列联表是借助两个变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关联关系．(√) (2)变量X，Y关系越密切，由观测数据计算得到的χ2的观测值越大．(√) 2．下表是一个2×2列联表，则表中a，b的值分别为(　　) y x　　 y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 22 25 47 总计 b 46 120 A.94，72　　　　　 B．52，50 C．52，74 D．74，52 C　[a＝73－21＝52，b＝a＋22＝52＋22＝74.] 3．下列选项中，哪一个χ2的值可以有95%以上的把握认为“A与B有关系”(　　) A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710 C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014 D　[由于5.014>3.841，故选项D正确．] 4．(教材第247页例1改编)在对某小学的学生进行是否吃零食的调查中，得到数据如下表所示． 　　 　　是否吃零食 性别 吃零食 不吃零食 总计 男 27 34 61 女 12 29 41 总计 39 63 102 根据上述数据分析，我们得出χ2的值约为________. 2．334　[由公式可计算得χ2＝≈2.334.] 探究一　用2×2列联表分析两变量间的相关关系 在一次对人们饮食习惯的调查中，共调查了124人，其中60岁以上的有70人，60岁以下的有54人.60岁以上的人中，有43人饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；60岁以下的人中，有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并判断二者是否有关系． 解　将数据整理成如下2×2列联表． 　　　 年龄　　　 以蔬菜为主 以肉类为主 总计 60岁以上 43 27 70 60岁以下 21 33 54 总计 64 60 124 计算得＝≈0.614，＝≈0.389. 显然二者数据有较为明显的差距，可以判断年龄对饮食习惯有影响，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系． [方法总结] 1．作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别． 2．利用2×2列联表分析两变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，结合古典概型和条件概率计算与(或与)的值，以此来判断两个分类变量间是否有关系． [训练1]　有两个变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为 　　y x　　 y1 y2 x1 10 18 x2