7.2 成对数据的线性相关性（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　成对数据的线性相关性 2．1　相关系数 2．2　成对数据的线性相关性分析 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合具体实例，了解样本相关系数的统计含义，了解样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系． 2．结合实例，会通过相关系数比较多组成对样本数据的相关性． 在学习样本相关系数等概念的过程中，提升数学抽象、数学运算、数据分析、数学建模的核心素养． 一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记 r＝＝， 称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数． 为了计算的方便，我们再给出如下式子：r＝． 样本(线性)相关系数r的取值范围为[－1，1]. |r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强； |r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱． 当r＞0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量正相关； 当r＜0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量负相关； 当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)样本(线性)相关系数r的取值范围是(－1，1).(×) (2)|r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越弱．(×) (3)r<0时，两个随机变量负相关．(√) 2．有下列数据： x 1 2 3 y 3 5.99 12.01 下列四个函数中，模拟效果最好的为(　　) A．y＝3×2x－1　　　　　 B．y＝log2x C．y＝3x D．y＝x2 A　[把x＝1，2，3分别代入各选项的关系式求y值，离表格中的y最近的模拟效果最好，可知选项A模拟效果最好．] 3．5名学生的数学成绩和物理成绩如下表所示． 学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 则数学成绩与物理成绩之间(　　) A．是函数关系 B．是相关关系，但相关性很弱 C．具有较好的线性相关关系，且是正相关 D．具有较好的线性相关关系，且是负相关 C　[数学成绩x和物理成绩y的散点图如下图所示． 从图上可以看出数学成绩和物理成绩具有较好的线性相关关系，且是正相关．] 4．(教材第236页例1改编)某企业的某种产品产量与单位成本数据如下表所示． 产量x/千件 2 3 4 3 4 5 单位成本y/ (元/件) 73 72 71 73 69 68 则相关系数r＝________． －0.91　[i＝21，i＝426，＝79， ＝30 268，iyi＝1 481， ＝3.5，＝71， 则r＝ ＝ ≈－0.91.] 探究一　相关系数大小对变量相关性的影响 在研究两个变量y与x的相关关系时，分别选择了四组不同的数据，由这四组不同的数据得到的相关系数r分别为0.25，0.50，0.98，0.80，则其中相关程度最大的相关系数是(　　) A．0.25　　　 B．0.50　　　 C．0.98　　　 D．0.80 [分析]　根据相关系数大小对相关程度影响的规律进行判断． C　[设线性相关系数为r，|r|越接近1，相关程度越强；|r|越小，相关程度越弱．] [方法总结]　相关系数r的大小对相关程度大小的影响 |r|≤1，|r|越接近1，相关程度越强；|r|越接近0，相关程度越弱. [训练1]　对四组变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数．①n＝7，r＝0.954 5；②n＝15，r＝0.381 2；③n＝17，r＝0.498 5；④n＝3，r＝0.987 0. 则变量y与x具有相关关系的是________． ①④　[相关系数r的绝对值越大，线性相关程度越强．] 下图是某企业2010年至2016年的污水净化量(单位：t)的折线图． 注：年份代码1～7分别对应年份2010～2016. (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和x的关系，请用相关系数加以说明． (2)建立y关于t的回归方程，预测2017年该企业的污水净化量． 解　(1)由折线图中的数据，得 ＝4，(xi－)2＝28，(yi－)2＝18. 所以r＝≈0.935. 因为y与x的相关系数近似为0.935，说明y与x的线性相关程度相当大，所以可以用线性回归模型拟合y与x的关系． (2)因为＝54， ＝＝＝， 所以＝－ ＝54－×4＝51. 所以y关于x的线性回归方程为＝x＋＝x＋51. 将2017年对应的x＝8代入，得＝×8＋51＝57. 所以预测2017年该企业污水净化量约为57 t． [方法总结]　 1．相关系数的计算公式也可以是r＝ 注意利用参考数据选择合适的公式求解． 2.掌握相关系数与线性程度