7.1 一元线性回归 （Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1　一元线性回归 1．1　直线拟合 1．2　一元线性回归方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有某种关系． 2．了解最小二乘法的思想方法，会利用最小二乘法求线性回归方程，并用线性回归方程进行预报． 3．理解线性回归方程系数，的几何意义与实际意义． 通过利用散点图判断两个变量之间是否具有某种关系，利用最小二乘法求线性回归方程以及用线性回归方程进行预报等知识的学习，达成数学抽象、数据分析、数学建模、逻辑推理与数学运算的核心素养． 1．散点图 将成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来， 每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图． 2．直线拟合 从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合．若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合． 1．最小二乘法 对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1，2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能小．为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小．这个方法称为最小二乘法． 2．用向量的方法可得使[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小的a，b取值为 ＝， ＝－_． 其中，＝(x1＋x2＋…＋xn)，＝(y1＋y2＋…＋yn)． 这时直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线(如下图)，，是这个线性回归方程的系数． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)两个变量之间产生相关关系的原因受许多不确定的随机因素的影响．(√) (2)相关关系是一种因果关系，具有确定性．(×) (3)利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．(√) (4)回归直线＝x＋恒过样本点中心(，)，且至少过一个样本点．(×) 2．某样本点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)的经验回归方程为＝0.5x＋0.7，当x＝8时，y的实际值为4.5，则当x＝8时，预测值与实际值的差值为(　　) A．0.1　　　　 B．0.2　　　　 C．0.3　　　　 D．0.4 B　[当x＝8时，y的预测值＝4.7，4.7－4.5＝0.2.] 3．某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表所示． 零件数x/个 10 20 30 加工时间y/min 21 30 39 现已求得上表数据的线性回归方程＝x＋中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为(　　) A．84 min B．94 min C．102 min D．112 min C　[由表中数据得＝20，＝30，又＝0.9，故＝30－0.9×20＝12. 所以＝0.9x＋12.将x＝100代入线性回归方程，得＝0.9×100＋12＝102(min). 所以预测加工100个零件需要102 min.] 4．(教材第227页练习题1改编)根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图(如下图)，这两个变量是否具有线性关系？________．(填“是”或“否”) 否　[散点图中的点不存在某种趋势，故这两个变量不具有线性关系．] 下表是在某地搜集到的不同楼盘房屋的销售价格y(单位：万元)和房屋面积x(单位：m2)的数据： 房屋面积x/m2 115 110 80 135 105 销售价格y/万元 49.6 43.2 38.8 58.4 44 (1)画出数据对应的散点图． (2)判断房屋的销售价格和房屋面积之间是否具有线性关系．如果有线性关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系． 解　(1)数据对应的散点图如图所示． (2)通过以上数据对应的散点图可以判断，房屋的销售价格和房屋面积之间具有线性关系，如上图． [方法总结]　确定两个随机变量x和y线性关系的方法 1．散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断； 2．表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断； 3．经验法：借助积累的经验进行分析判断． [训练1]　某男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示． 年龄x/岁 1