6.4.2 超几何分布（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．2　超几何分布 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解超几何分布及其推导过程． 2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题． 通过对超几何分布的学习，培养数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 公式中的k可以取的最小值为max{0，n－(N－M)}，而不一定是0． 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． 一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．(×) (2)在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.(×) (3)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√) (4)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X取不同值m时的概率P(X＝m).(√) 2．袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，任意取出3个球，这3个球都是红球的概率为(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． B　[P＝＝.] 3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P(X＝1)＝________． 　[X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各1台， 故所求概率P(X＝1)＝＝.] [知能解读] 1．对超几何分布的三点说明 (1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是N，M，n. (3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往涉及差异明显的两部分． 2．公式P＝的推导 从N件产品中任取n件产品的基本事件有C个；事件{X＝k}表示“在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有k件次品”，则必有n－k件正品，因此事件{X＝k}中含有CC个基本事件，由古典概型概率计算公式可知P＝. 袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有1个红球的概率． 解　由已知可得X的取值为0，1，2，3， X＝0表示取出的3个球全是黑球，P(X＝0)＝＝＝. 同理，P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 至少有1个红球的概率为P(X≥1)＝1－＝. [方法总结]　利用超几何分布求概率问题的解题步骤 1．辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优、劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型． (2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解．需注意借助公式求解时应理解参数N，M，n，k的含义，不要用错． (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来 [训练1]　交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有五个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如下图所示． (1)这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？ (2)从这20个路段中随机抽取3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列． 解　(1)由直方图得 轻度拥堵路段的个数是(0.1＋0.2)×1×20＝6； 中度拥堵路段的个数是(0.3＋0.2)×1×20＝10. (2)事件P(X＝k)的概率为 P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3. 则P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P [知能解读]　超几何分布与二项分布的区别与联系 超几何分布 二项分布 区别 超几何分布是不放回抽样，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的． 二项分布是有放回抽样，每次抽取时的总体没有改变，因此每次抽到某事物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验． 联系 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，二者的均值相同． 对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对