6.4.1 二项分布（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§4　二项分布与超几何分布 4．1　二项分布 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过具体实例，了解n重伯努利试验． 2．掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题． 1.在理解n重伯努利试验和二项分布的过程中，提升数学抽象的核心素养． 2．在求解二项分布数字特征的过程中，增强逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养． 1．伯努利试验：把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验．我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次，且每次实验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的特征： (1)同一个伯努利试验重复做n次； (2)各次试验的结果相互独立． 1．定义：一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p(0<p<1)，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n. 若随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p)． 2．二项分布的均值与方差：若X～B(n, p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6).(√) (2)某福利彩票的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p).(√) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(√) (4)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C×()1×(1－)3－1＝.(×) 2．(多选题)独立重复试验满足的条件是(　　) A．每次试验之间是相互独立的 B．每次试验只有发生和不发生两种情况 C．每次试验中发生的机会是均等的 D．每次试验发生的事件是互斥的 ABC　[由n次独立重复试验的定义知选项A，B，C正确．] 3．打靶时，某人每打10发可中靶8次，则他打100发子弹有4发中靶的概率为(　　) A．C×0.84×0.296　　　 B．0.84 C．0.24×0.896 D．0.84×0.296 A　[由题意可知中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率为C×0.84×0.296.] 4．已知随机变量X服从二项分布，X～B(6，)，则P(X＝2)等于________． 　[P(X＝2)＝C×(1－)4×()2＝.] 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.求： (1)甲恰好击中目标2次的概率； (2)乙至少击中目标2次的概率； (3)乙比甲多击中目标2次的概率． 解　设A表示“甲击中目标”，则P(A)＝；设B表示“乙击中目标”，则P(B)＝.用X表示事件A发生的次数，Y表示事件B发生的次数，则X～B(3, )，Y～B(3, ). (1)“甲恰好击中目标2次”即X＝2， 故所求概率为P(X＝2)＝C×()2×＝. (2)“乙至少击中目标2次”即Y＝2或Y＝3， 故所求概率为P(Y＝2或Y＝3)＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝C×()2×＋C×()3＝. (3)设“乙比甲多击中目标2次”为事件C，“乙击中目标2次且甲击中目标0次”为事件C1，“乙击中目标3次且甲击中目标1次”为事件C2，则C＝C1∪C2，C1，C2为互斥事件． 故所求概率为P(C)＝P(C1)＋P(C2)＝C×()2××C×()3＋C×()3×C×()3＝＋＝. [方法总结]　利用二项分布求概率的步骤 (1)判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验． (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆． (3)计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算 [训练1]　某气象站天气预报的准确率为80%.求(结果保留到小数点后第2位)： (1)“5次预报中恰有2次准确”的概率； (2)“5次预报中至少有2次准确”的概率． 解　(1)记“天气预报准确”为事件A，则P(A)＝0.8. 用X表示事件A发生的次数，则X～B(5, 0.8). “恰有2次准确”即X＝2， P(X＝2)＝C×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05. 因此“5次预报中恰有2次准确”的概率约为0.05. (2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”． “5次预报全部不准确或只有1次准确”即X＝0或X＝1， P(X＝0或X＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝C×0.25＋