6.3.1 离散型随机变量的均值（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　离散型随机变量的均值与方差 3．1　离散型随机变量的均值 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质． 2．会根据离散型随机变量的分布列求出均值． 1.在理解离散型随机变量均值的过程中增强数学抽象的核心素养． 2．在求离散型随机变量均值的过程中提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 1．定义： 设离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望(简称期望). 2．意义： 均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征． 3．两点分布的均值： 一般地，如果随机变量X服从参数为p的两点分布，那么EX＝p(p为成功概率). 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)随机变量X的均值EX是个变量，它随X的变化而变化．(×) (2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(×) (3)若某人投篮的命中率为0.8，那么他投篮10次一定会进8个球．(×) 2．(教材第200页练习题1改编)已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的均值EX＝(　　) A．　　　　　　　　　 B．2 C． D．3 A　[EX＝1×＋2×＋3×＝.] 3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不命中得0分．已知甲命中的概率为0.8，则罚球一次得分X的均值是________． 0．8　[由题意知，X服从两点分布，所以EX＝1×0.8＝0.8.] 4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数字之积X的均值是________． 　[随机变量X的取值为0，1，2，4，P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝4)＝， 因此EX＝0×＋1×＋2×＋4×＝.] 在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求该顾客获得的奖品总价值ξ的分布列和均值Eξ. 解　由题意，ξ的所有可能值为0，10，20，50，60(元). 则P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝10)＝＝， P(ξ＝20)＝＝， P(ξ＝50)＝＝， P(ξ＝60)＝＝. 故ξ的分布列为 ξ 0 10 20 50 60 P 从而期望Eξ＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16(元). [方法总结]　求离散型随机变量X的均值的步骤 (1)根据X的实际意义，写出X的全部取值； (2)求出X取每个值的概率； (3)写出X的分布列； (4)利用定义求出均值． 其中第(1)(2)两步是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重分析概率的相关知识． [训练1]　已知随机变量X的分布列如下表： X －2 －1 0 1 2 P m 则EX＝________． －　[由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1.解得m＝. 故EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.] [训练2]　盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取1节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值． 解　X的取值为1，2，3. P(X＝1)＝， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝××＝. 故抽取次数X的分布列为 X 1 2 3 P 则EX＝1×＋2×＋3×＝. 某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益情况如下表： 下周一 无雨 无雨 有雨 有雨 下周二 无雨 有雨 无雨 有雨 收益 20万元 15万元 10万元 7.5万元 若基地额外聘请工人，则可在下周一当天完成全部采摘任务，无雨时收益为20万元；有雨时收益为10万元．额外聘请工人的成本为a万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36. (1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益． (2)该基地是否应该外聘工人？请说明理由． 解　(1)设下周一无雨的概率为p. 由题意知，p2＝0.36，p＝0.6. 基地收益X的可能取值为20，15，10，7.5. P(X＝20)＝0.36，P(X＝15)＝0.24， P(X＝10)＝0.2