6.2 离散型随机变量及分布列（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　离散型随机变量及其分布列 2．1　随机变量 2．2　离散型随机变量的分布列 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过具体实例，了解离散型随机变量的概念． 2．理解随机变量的分布列，会求一些离散型随机变量的分布列． 1.在学习离散型随机变量过程中，提升数学抽象的核心素养． 2．在求解离散型随机变量分布列的过程中，增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养． 1．随机变量概念：取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量． 随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示． 2．离散型随机变量：取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量． 1．离散型随机变量的分布列 若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X 取xi的概率为pi (i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n，…).该式也可以列成下表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 上式或上表称为离散型随机变量X的分布列，简称X的分布列. 2．离散型随机变量分布列的性质 (1)pi＞0(i＝1，2，…，n，…)； (2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1． 若在某个试验中，每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为伯努利试验． 如果随机变量X的分布列如下表： X 1 0 P p q 其中0＜p＜1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0—1 分布或伯努利分布). 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)离散型随机变量的取值是任意的实数．(×) (2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个.(√) (3)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．(×) (4)离散型随机变量的分布列的每个随机变量取值对应的概率都相等．(×) 2．[教材第191页练习题1(1)改编]抛掷均匀硬币一枚，随机变量为(　　) A．抛掷硬币的次数 B．出现正面的次数 C．出现正面或反面的次数 D．出现正面和反面的次数之和 B　[掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故选B.] 3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个． 17　[X可能的取值为3，4，5，6，7，8，9，…，19，共有17个．] 4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m()k，k＝1，2，3，则m的值为________ . 　[由已知得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝. 由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即＋＋＝1.解得m＝.] 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从标有1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 解　(1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11. X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11. (2)设所取卡片上的数字和为X，则X＝3，4，5，…，11. X＝3，表示“取出标有1，2的两张卡片”； X＝4，表示“取出标有1，3的两张卡片”； X＝5，表示“取出标有2，3或标有1，4的两张卡片”； X＝6，表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”； X＝7，表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”； X＝8，表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”； X＝9，表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”； X＝10，表示“取出标有4，6的两张卡片”； X＝11，表示“取出标有5，6的两张卡片”． [变式]　若例1(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ，则ξ有哪些取值？其中ξ＝4表示什么含义？ 解　ξ的所有可能取值有1，2，3，4，5，共5个．ξ＝4表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”． [方法总结]　解答用随机变量表示随机试验结果问题的关键点和注意点 1．关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果． 2．注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果 [训练1]　写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果