6.1.2 乘法公式与事件的独立性（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1．2　乘法公式与事件的独立性 课程内容标准 学科素养凝练 1.理解并掌握乘法公式． 2．理解事件相互独立的充要条件． 3．能综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的概率乘法公式解决实际问题． 通过对乘法公式、事件相互独立充要条件的学习，达成数学抽象、逻辑推理、数学运算与数据分析的核心素养． 根据事件A发生的概率P(A)，以及在事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A)，可以求出事件A与事件B同时发生的概率P(AB)，即P(AB)＝P(B|A)P(A)(其中P(A)＞0)；同理P(AB)＝P(A|B)P(B)(其中P(B)＞0).称这两个公式为乘法公式． 二、事件A与事件B相互独立的充要条件 事件A与事件B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)． 1．对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立． 2．若事件A1，A2，…，An相互独立，则 P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)· P(A2)·…·P(An). 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若事件A与B相互独立，则A与，与，B与也都相互独立．(×) (2)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立．(√) (3)若事件A，B相互独立，则P()＝P()P().(√) (4)若事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B).(√) 2．甲、乙两人投球命中率分别为，，甲、乙两人各投1次，恰好投中1次的概率为(　　) A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D． A　[事件“甲投球1次命中”记为A，“乙投球1次命中”记为B，“甲、乙两人各投1次恰好投中1次”记为事件C，则C＝A∪B且A与B互斥．故P(C)＝P(A∪B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝.] 3．(多空题)甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________． 0．24　0.96　[三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24. 三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04. 故三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.] 在某大型商场促销抽奖活动中，甲、乙两人抽奖前还有60张奖券，其中有6张中奖奖券．假设抽完的奖券不放回，甲抽完以后乙再抽，求： (1)甲中奖乙也中奖的概率； (2)甲没中奖而乙中奖的概率． 解　方法一　(1)设事件A：甲中奖，事件B：乙中奖， 则P(A)＝＝，P(B|A)＝. P()＝，P(B|)＝. 故甲中奖乙也中奖的概率为 P(BA)＝P(A)P(B|A)＝×＝. (2)甲没中奖而乙中奖的概率为 P(B)＝P()P(B|)＝×＝. 方法二　(1)甲中奖乙也中奖的概率为 ＝＝. (2)甲没中奖而乙中奖的概率为 ＝＝. [变式1]　例1的已知条件不变，求乙中奖的概率． 解　P(B)＝P(BA∪B)＝P(BA)＋P(B)＝＋＝. [方法总结]　在P(B|A)，P(BA)，P(A)三者中，若已知P(A)，P(B|A)，可以由P(BA)＝P(A)P(B|A)求出P(BA). (1)下列事件中，A，B为相互独立事件的是(　　) A．1枚硬币掷2次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B．袋中有2个白球和2个黑球，不放回地摸2个球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．掷1枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁” (2)判断下列各对事件是否为相互独立事件： ①甲组有3名男生，2名女生，乙组有2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； ②容器内盛有5个白色乒乓球和3个黄色乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； ③掷一枚骰子1次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． (1)A　[把1枚硬币掷2次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故选项A是独立事件；选项B中是不放回地摸球，显然事件A与事件B不相互独立；对于选项C，事件A，B互斥，故不相互独立；选项D是条件概率，事件B受事件A的影响，不相互独立．] (2)解　①“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． ②“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取