6.1.1 随机事件的条件概率（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1　随机事件的条件概率 1．1　条件概率的概念 课程内容标准 学科素养凝练 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率． 2．掌握条件概率的性质并能求解复杂的条件概率． 1.在条件概率的学习过程中，提升数学抽象的核心素养． 2．在求解条件概率的过程中，增强逻辑推理、数学建模、数学运算的核心素养． 1．定义：设A，B是两个事件，且P(A)>0，则称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率． 2．一个结论：当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)＝P(B)． 3．条件概率的性质：设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1，0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，那么P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A)． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(×) (2)在事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(×) (3)P(B|A)≠P(AB).(√) 2．下列式子成立的是(　　) A．P(A|B)＝P(B|A) B．0<P(B|A)<1 C．P(AB)＝P(A)·P(B|A) D．P(A∩B|A)＝P(B) C　[由P(B|A)＝，得P(AB)＝P(B|A)·P(A).] 3．设A，B为两个事件，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． A　[P(B|A)＝＝＝.] 4．(教材第180页例2改编)某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好任意去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A． B． C． D． A　[某人第一次失败、第二次成功的概率为P＝＝.] [知能解读]　对条件概率中“条件”的两点说明 1．一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这里所说的条件概率则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件)，求另一事件在此条件下发生的概率． 2．通常情况下，事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的． 现有6个节目准备参加比赛，其中4个是舞蹈节目，2个是语言类节目．如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个节目的事件数为n(Ω)＝A＝30. 根据分步乘法计数原理，得n(A)＝A×A＝20. 所以P(A)＝＝＝. (2)因为n(AB)＝A＝12， 所以P(AB)＝＝＝. (3)方法一　由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝. 方法二　因为n(AB)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. [变式1]　例1的条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率． 解　设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC. 方法一　P(C|A)＝1－P(B|A)＝1－＝. 方法二　n(A)＝A×A＝20， n(AC)＝A×A＝8， 所以P(C|A)＝＝＝. [方法总结]　利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A). (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． [训练1]　某个班级有学生40人，其中有共青团员15人．将全班学生分成4个小组，第一小组有学生10人，其中共青团员4人．现在要在班内任选1名共青团员当团员代表，求这个代表恰好在第一小组内的概率． 解　把40名学生看成40个样本点，其中第一小组所包含的样本点个数为10，第一小组的共青团员所包含的样本点个数为4.记“代表恰好在第一小组”为事件A，记“代表为共青团员”为事件B. 则P(A)＝＝，P(AB)＝＝. 故P(B|A)＝＝＝. 故这个团员代表恰好在第一小组内的概率为. 集合M＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从M中任取1个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲取到奇数的条件下，求乙取到的数比甲取到的数大的概率． [分析]　先求出甲取到奇数的情形种数，再求出甲取到奇数且乙取到的数比甲取到的数大的情形种数，然后利用条件概率公式P(B|A)＝求解． 解　将甲