5.4.1 二项式定理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§4　二项式定理 4．1　二项式定理的推导 课程内容标准 学科素养凝练 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1.在学习二项式定理过程中提升数学抽象、逻辑推理的核心素养． 2．在运用二项式定理解决问题的过程中增强逻辑推理、数学运算的核心素养． 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)称为二项式定理 二项式系数 各项系数C(k＝0，1，2，…，n)称为二项式系数 二项式通项 Can－kbk称为二项展开式中第k＋1项，可记作Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋) 二项展开式 Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn 特殊情况 在二项式定理中，若设a＝1，b＝x，则得到公式(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn(n∈N＋) 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)(a＋b)n展开式中共有n项．(×) (2)在二项式定理的公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．(×) (3)Can－rbr是(a＋b)n展开式中的第r项．(×) 2．在(x－)10的展开式中，含x6的项的系数是(　　) A．－27C B．27C C．－9C D．9C D　[含x6的项是T5＝Cx6(－)4＝9Cx6.] 3．(1－i)10(i为虚数单位)的二项展开式中第7项为(　　) A．－210 B．210 C．－120i D．－210i A　[由通项公式得T7＝C×(－i)6＝－C＝－210.] 4．在(－)n的展开式中，第4项是常数项，则n＝__________. 18　[T4＝T3＋1＝C()n－3(－)3＝－Cx. 由题意知＝0，得n＝18.] [知能解读]　二项展开式的特点 1．展开式共有n＋1项． 2．各项的次数和都等于二项式的幂指数n. 3．字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. (1)用二项式定理展开(2x－)5； (2)化简：(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解　(1)方法一　(2x－)5＝C(2x)5＋C(2x)4(－)＋C(2x)3(－)2＋C(2x)2(－)3＋C(2x)(－)4＋C(－)5＝32x5－120x2＋－＋－. 方法二　(2x－)5＝＝·[C(4x3)5＋C(4x3)4(－3)＋C(4x3)3(－3)2＋C(4x3)2(－3)3＋C(4x3)(－3)4＋C(－3)5]＝(1 024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243)＝32x5－120x2＋－＋－. (2)原式＝C(x－1)5＋C(x－1)4＋C(x－1)3＋C(x－1)2＋C(x－1)＋C(x－1)0－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1. [方法总结]　应用二项式定理解题的技巧 1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件． 2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便． 3．化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． [训练1]　化简： (1)(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1； (2)1＋2C＋4C＋…＋2nC. 解　(1)原式＝(x－1＋1)4＝x4. (2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n. [知能解读]　对通项公式的两点说明 1．通项公式Tr＋1＝Can－rbr是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，这里r＝0，1，…，n. 2．二项式(a＋b)n的第r＋1项Can－rbr和二项式(b＋a)n的展开式的第r＋1项Cbn－rar是有区别的，应用二项式定理时，公式中的a和 b不能随便交换位置． 已知在(－)n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n. (2)求含x2的项的系数． (3)求展开式中所有的有理项． 解　通项公式为　 Tr＋1＝Cx(－3)rx－＝C(－3)rx. (1)因为第6项为常数项， 所以当r＝5时，有＝0，即n＝10. (2)令＝2，得r＝(10－6)＝2. 故含x2的项的系数为C(－3)2＝405. (3)由题意得 令＝k(k∈Z)， 则10－2r＝3k，即r＝5－k. 因为r∈Z，所以k应为偶数． 则k＝2，0，－2，即r＝2，5，8. 故第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－