5.2.2 排列数公式（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

2．2　排列数公式 课程内容标准 学科素养凝练 1.会用排列数公式进行求值和证明． 2．掌握一些排列问题的常用解决方法，能应用排列知识解决简单的实际问题． 在学习排列数、排列数公式及应用的过程中，强化数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养． 排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)·…·[n－(m－1)]， 其中n，m∈N＋，并且m≤n.当m＝n时，A＝n(n－1)(n－2)·…·2·1，记作n！. 规定：①A＝1.②0！＝1. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)式子A中m不能为0.(×) (2)式子A＝中m≠n.(×) (3)由0，1，2，3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有3×43－A＝168个．(×) 2．90×91×92×…×100可以表示为(　　) A．A　　　　 B．A　　　　 C．A　　　　 D．A B　[由排列数公式得原式为A.] 3．(多空题)A＝________，A＝________． 12　6　[A＝4×3＝12，A＝3×2×1＝6.] 4．把5本不同的课外读物分给5名同学，每人1本，则不同的分配方法有________种． 120　[利用排列的概念可知不同的分配方法有A＝120种．] 5．已知A＝7A(n∈N＋)，则n的值为________． 7　[由排列数公式，得 n(n－1)＝7(n－4)(n－5). 整理，得3n2－31n＋70＝0. 解得n＝7或n＝(舍去).] (1)计算：. (2)解方程：3A＝4A. (3)解不等式：A<6A. 解　(1)原式＝＝＝＝＝. (2)由排列数公式，原方程可化为 3×＝4×. 化简得3＝，即x2－19x＋78＝0. 解得x1＝6，x2＝13. 因为x≤8，所以原方程的解是x＝6. (3)由排列数公式，得<6·. 化简，得1<， 即x2－19x＋84<0.解得7<x<12. 又因为x∈N＋，0<x≤8，0<x－2≤8， 所以2<x≤8且x∈N＋.故x＝8. [方法总结]　排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用公式时需注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用． (2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量． [训练1]　(1)若A＝10×9×8×…×5，则m＝________． (2)计算：＝________． (1)6　[由排列数公式，得m＝6.] (2)1　[方法一　 原式＝ ＝＝＝1. 方法二　原式＝＝＝＝1.] 用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)六位奇数？ (2)个位数字不是5的六位数？ 解　(1)方法一(直接法)　从特殊位置入手．分三步完成：第一步，定个位，有A种方法；第二步，定首位，有A种方法；第三步，定其他位，有A种方法．故共有A×A×A＝288个六位奇数． 方法二(直接法)　从特殊元素入手.0不在两端，有A种排法；从1，3，5中任选1个排在个位，有A种排法；其他各数位上用剩下的元素做全排列，有A种排法．故共有A×A×A＝288个六位奇数． 方法三(排除法)　6个数字的全排列有A个；0，2，4在个位上的六位数为3A个；1，3，5在个位上，0在首位上的六位数有3A个．故满足条件的六位奇数共有A－3A－3A＝288个． (2)方法一(排除法)　0在首位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在首位且5在个位的六位数有A个． 故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504个． 方法二(直接法)　首位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类． 第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A个． 第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有A×A×A个． 故符合题意的六位数共有A＋A×A×A＝504个． [变式]　例2已知条件不变，解决如下问题： (1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数？ (3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是这个数列的第几项？ 解　(1)符合要求的五位数可分为两类．第一类：个位上的数字是0的五位数，有A个；第二类：个位上的数字是5的五位数，有A×A个．故满足条件的五位数共有A＋A×A＝216个． (2)符合要求的比1 325大的四位数可分为三类． 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共有A×A个； 第二类：形如14□□，15□□，共有A×A个； 第三类：形如134□，135□，共有A×A个． 根据分类加法计数原理，无重复数字且比1 325大的四位