5.1.3 基本计数原理的简单应用（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.3　基本计数原理的简单应用 计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 区别一 每类办法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就能完成 任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同的放法有34个．(×) (2)从甲、乙等6人中选出3名代表，若甲一定当选，则有20种选法．(×) (3)(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后共有36项．(√) (4)三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有10种．(√) 2．由1，2，3，4组成没有重复数字的三位数的个数为(　　) A．36　　　 B．24　　　 C．12　　　 D．6 B　[由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.] 3．从甲地到乙地，每天有直达班车4班，从甲地到丙地，每天有直达班车5班，从丙地到乙地，每天有直达班车3班，则从甲地到乙地不同的乘车方法有(　　) A．12种 B．19种 C．32种 D．60种 B　[分两类：第一类直接到达，共有4种方法，第二类间接到达，共有5×3＝15种方法．根据分类加法计数原理，共有4＋15＝19种乘车方法．] 4．(多空题)从－1，0，1，2这4个数中选3个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成__________个不同的二次函数，其中偶函数有________个．(用数字作答) 18　6　[一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18个二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，共有3×2＝6个偶函数．] 有0，1，2，3，4共5个数字， (1)可以排出多少个三位数字的电话号码？ (2)可以排成多少个三位数？ (3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？ 解　(1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，因此共有5×5×5＝53＝125个电话号码． (2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字．首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100个三位数． (3)能被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4.因此，可以分两类；第一类，末位数字是0，有4×3＝12种排法；第二类，末位数字不是0，末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18种排法．根据分类加法计数原理，可以排成12＋18＝30个能被2整除的无重复数字的三位数． [变式1]　由例1中的5个数字可以组成多少个无重复数字的四位奇数？ 解　完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取1个，有2种方法；第二步定首位，从除去0和个位用过的数后的3个数中任取1个，有3种方法；第三步、第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．由分步乘法计数原理，共有2×3×3×2＝36个无重复数字的四位奇数． [变式2]　由例1中的5个数字可以组成多少个能被3整除的无重复数字的四位数？ 解　一个四位数能被3整除，必须各数位上数字之和能被3整除，故组成四位数的四个数字只能是0，1，2，3或0，2，3，4两类．所以满足条件的四位数共有2×3×3×2×1＝36个． [方法总结]　常见的组数问题及解题原则 1．常见的组数问题：奇数、偶数、整除数、各数位上的和或数字间满足某种特殊关系等． 2．解题原则：首先明确题目条件对数字的要求，针对这一要求通过分类、分步进行组数；其次注意各数位上对特殊数字的要求，如偶数的个位数字为偶数，两位及其以上的数首位数字不能是0，能被3整除的数各位上的数字之和能被3整除等；最后先分类再分步从特殊数字或特殊位置入手进行组数 甲、乙、丙、丁四人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己的贺卡，则不同的取法有________种． 9　[不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲后第二个取，共3种取法，余下的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9种．] [方法总结]　选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法 1．当涉及对象数目不大时，一般选用列举法、树形图法