5.1.1-5.1.2 分类加法计数原理&分步乘法计数原理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§1　基本计数原理 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义． 2．能够利用两个计数原理解决简单问题． 在学习两个计数原理的过程中，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．1　分类加法计数原理 1．2　分步乘法计数原理 分类加法计数原理：完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称“加法原理”) 分步乘法计数原理：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝m1·m2·…·mn种方法．(也称“乘法原理”) 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(×) (2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．(√) (3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(√) (4)在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．(√) 2．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，若要求从两类课程中选1门，则不同的选法共有(　　) A．3种　　　　　　　　　 B．4种 C．7种 D．12种 答案：C 3．已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示的不同的点的个数是(　　) A．1 B．3 C．6 D．9 答案：D 4．用1，2，3这3个数字可以写出没有重复数字的整数________个． 15　[分三类：第一类为一位整数，有1，2，3，共3个；第二类为两位整数，有12，21，13，31，23，32，共6个；第三类为三位整数，有123，132，213，231，312，321，共6个.因此共可写出没有重复数字的整数3＋6＋6＝15个．] [知能解读]　对分类加法计数原理的说明 1．核心：原理的核心是“分类”，将完成一件事的方法分为若干类． 2．特点：相互独立. 各类方案相互独立，各类方案中的各种方法也相互独立，并且用任何一类方案中任何一种方法都可以单独完成这件事． 3．应用： (1)根据问题的特点确定一个分类的标准； (2)在确定的标准下进行分类； (3)分类不能重复，不能遗漏． 4．目的：原理的目的是求解“完成一件事的不同方法数”，因此在应用原理解题时要有问题意识，明确并努力思考两个问题，即要求我们完成一件什么事，如何完成这件事． (1)一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有________种． (2)满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________． (1)8　[任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案：第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法．根据分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8种．] (2)13　[①当a＝0时，2x＋b＝0总有实数根，所以(a，b)的取值有4个． ②当a≠0时，需Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.则当a＝－1时，b的取值有4个；当a＝1时，b的取值有3个；当a＝2时，b的取值有2个． 所以(a，b)的取法有4＋3＋2＝9个． 综合①②知，(a，b)的取法有4＋9＝13个．] [方法总结] 1．运用分类加法计数原理计数的两个条件 (1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类． (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法． 只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理． 2．利用分类加法计数原理计数时的解题流程 [训练1]　(1)某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有(　　) A．3种　　　　　　　　　 B．6种 C．7种 D．9种 (2)如右图，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通. 今发现A，B之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种． (1)C　[分三类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7种．] (2)13　[按照可能脱落的个数分类讨论．若脱落1个，则有(1)，(4)，共2种情况；若脱落2个，则有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，