3.4.3 第1课时 空间中的角（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 课程内容标准 学科素养凝练 1.掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角的定义． 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角． 3．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题． 4．能描述用向量方法解决夹角问题的程序，体会向量方法在研究几何夹角问题中的作用． 通过向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 异面直线所成的角的向量表示式： 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是s1，s2，则cos θ＝|cos_〈s1，s2〉|． 设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成的角θ∈，且θ＝－〈l，n〉(如图①)或θ＝〈l，n〉－(如图②)，故sin θ＝|cos_〈l，n〉|． 1．一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α­l­β 的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图③)或互补(如图④). 2．平面与平面所成的角的向量表示式： 设平面α，β的法向量分别是n1和n2，平面α与平面β所成的角为θ，则cos θ＝|cos_〈n1，n2〉|． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(×) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(×) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(×) (4)两异面直线夹角的范围是(0，]，直线与平面所成角的范围是[0，]，二面角的范围是[0，π].(√) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．(教材第127页例8改编)如右图，在直三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． D　[以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如右图所示的空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，B(0，1，0)，A(1，0，0)，C(0，0，0).故A1B＝(－1，1，－2)，＝(－1，0，0). 所以cos 〈A1B，〉＝＝＝， 即A1B与AC所成角的余弦值是.] 3．已知向量m，n分别是直线l的方向向量与平面α的法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则l与α 所成的角为(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° B　[设l与α所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝.所以θ＝60°.] 4．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面PAB与平面PCD所成的二面角为________． 45°　[如右图，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1). 由题意得，AD⊥平面PAB. 设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD. 又CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE. 从而AE⊥平面PCD. 所以＝(0，1，0)，＝(0，，)分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°. 故平面PAB与平面PCD所成的二面角为45°.] 如右图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则异面直线PQ与AM所成的角是(　　) A． B． C． D． D　[以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系． 设AA1＝AB＝AC＝2，则＝(0，2，1)，Q(1，1，0)，P(1，0，2)，＝(0，－1，2). 所以·＝0.故QP与AM所成角为.] [方法总结]　求异面直线所成角的方法 1．几何法 (1)作图：选择“特殊点”作异面直线的平行线，作出所求角； (2)证明：证明所作角符合定义； (3)计算：解三角形求解 2．坐标法 (1)建系：建立空间直角坐标系； (2)找坐标：求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)求夹角：利用向量夹角的公式计算两直线方向向量的夹角； (4)下结论：结合异面直线所成角的范围，得到异面直线所成的角． 提醒：两条异面直线所成的角的取值范围是(0，] [训练1]　如右图，在四棱锥P ­ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足． (1)求证：BE⊥PD. (2)求异面直线AE与CD所成角的