3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§4　向量在立体几何中的应用 4．1　直线的方向向量与平面的法向量 课程内容标准 学科素养凝练 1.能用向量语言描述点、直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．掌握直线的方向向量和平面的法向量的求法． 3．能用直线和平面的向量表示解决一些有关点共线，直线、平面平行与垂直的问题． 通过直线的方向向量和平面的法向量的求法，利用直线和平面的向量表示解决一些有关点共线，直线、平面平行与垂直的问题，增强数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养． 向量表示 图形表示 点 在空间中取一个定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，向量就是点P的位置向量． 直线的方向向量 设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的方向向量．与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量． 直线 已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝t a.这个式子称为直线l的向量表示． 平面的法向量 如果一条直线l与一个平面α垂直，就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α． 平面 设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内的任意一点P，必有·n＝0．这个式子称为平面α的一个向量表示式． 在空间直角坐标系中，若n＝(A，B，C)，点M的坐标为(x0，y0，z0)，则对于平面α内任意一点P(x，y，z)，有·n＝(x－x0，y－y0，z－z0)·(A，B，C)＝0，即A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0．这个方程叫作平面α的方程． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)直线的方向向量是唯一确定的．(×) (2)若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行．(×) (3)平面的单位法向量是唯一确定的．(×) (4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(×) 2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个法向量是(　　) A．(1，1，－1)　　　　　　 B．(1，－1，1) C．(－1，1，1) D．(－1，－1，－1) D　[＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1). 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有取x＝－1，则y＝－1，z＝－1. 故平面ABC的一个法向量是(－1，－1，－1).] 3．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)，a与b分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　) A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ D　[因为l1∥l2，所以a∥b.所以存在λ∈R，使得a＝λb，即2＝3λ，4＝λx，5＝λy.所以x＝6，y＝.] 4．已知直线l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为(1，，2)，且l∥α，则m＝________． －8　[因为l∥α， 所以l的方向向量与α的法向量垂直． 所以(2，m，1)·(1，，2)＝2＋m＋2＝0. 解得m＝－8.] 探究一　利用直线的方向向量表示求点的坐标 在空间直角坐标系中，已知点A(4，2，0)，B(1，3，3)，点E是直线AB上的一点，且AE＝2AB，求点E的坐标． 解　设点E的坐标为(x，y，z)，由题意得＝(－3，1，3)，＝(x－4，y－2，z). 若＝2＝(－6，2，6)，则 解得 若＝－2＝(6，－2，－6)，则 解得 所以点E的坐标为(－2，4，6)或(10，0，－6). [方法总结]　利用直线的向量表示求点的坐标时，根据所求点的坐标特征，设出其坐标，再根据直线和平面的向量表示，列出方程组即可． [变式1]　若例1已知条件不变，求直线AB与坐标平面xOy的交点F的坐标． 解　设点F的坐标为(x2，y2，0)， 则＝(x2－4，y2－2，0). 又＝(－3，1，3)，且∥， 所以存在t∈R，使得＝t， 即(x2－4，y2－2，0)＝t(－3，1，3). 所以解得 所以直线AB与平面xOy的交点F的坐标为. 如右图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝3，E在棱B1C1上，且C1E＝1，F为AD的中点，BC上的点G满足FG∥D1E，求. 解　以点D为原点建立如下图所示的空间直角坐标系D ­xyz，则D1(0，0，3)，E(1，3，3)，F(，0，0). 设G(x，3，0)，则 ＝(1，3，0)，＝(x－，3，0). 因为∥，所以存在λ∈R，使＝λ． 所以解得 所以|CG|＝.故＝. [方法总结]　利用直线的向量表示求线段的比值，方法是将其转化为求相对应的向量模的比值，再转化为相应向量的平