3.3.1 空间向量基本定理（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3．1　空间向量基本定理 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解空间向量基本定理及其意义． 2．掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法． 通过空间向量基本定理及其意义的学习与运用，加强数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养． 如果向量a，b，c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得p＝x_a＋y_b＋z_c． 如果向量a，b，c是空间三个不共面向量，那么所有的空间向量组成的集合就是 {p|p＝x_a＋y_b＋z_c,_x，y，z∈R}， 这个集合可以看成是由向量a，b，c生成的，这时{a，b，c}叫作空间的一组基，其中a，b，c都叫作基向量． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)已知空间的三个向量a，b，c，对于空间的任意一个向量p，总存在实数x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c.(×) (2)空间中的基是唯一的．(×) (3)零向量能作为基向量．(×) (4)空间任一向量都可以分解成三个不共面向量和的形式，且分解是唯一的．(√) (5)空间同一向量对不同基的分解，有序实数组存在且是不同的．(√) 2．已知向量{a，b，c}是空间的一个基，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基的向量是(　　) A．a　　　　　　　　 B．b　　 C．a＋2b D．a＋2c D　[若一个向量能与p，q构成基，则该向量与p，q不共面．因为a＝，b＝，a＋2b＝，所以选项A，B，C都不合题意．因为{a，b，c}构成基，所以a＋2c与p，q不共面，可构成基．] 3．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　) A．－，， B．，－， C．－，，－ D．－，－， D　[如右图，取PC的中点E，连接NE，则 　＝－ ＝－(－) ＝－(－) ＝－ ＝－－(－＋＋) ＝－－＋. 故x＝－，y＝－，z＝.] 4．(教材第109页例1改编)如下图， 在平行六面体ABCD ­A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________. －a＋b－c　[＝－＝(＋)－(＋)＝－＋－AA1＝－a＋b－c.] 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，判断{，，}能否作为空间的一个基．若能，以此基表示向量＝2e1－e2＋3e3；若不能，请说明理由． [分析]　判断{，，}能否作为空间的一个基，关键是判断，，是否不共面．解决本题可以采用反证法． 解　{，，}能作为空间的一个基．理由如下：假设，，共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使＝x＋y成立． 则e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基， 所以e1，e2，e3不共面． 所以此方程组无解． 故不存在实数x，y使＝x＋y. 所以，，不共面． 故{，，}能作为空间的一个基． 设＝p＋q＋z，则有 2e1－e2＋3e3＝p(e1＋2e2－e3)＋q(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)＝(p－3q＋z)e1＋(2p＋q＋z)e2＋(－p＋2q－z)e3. 因为{e1，e2，e3}为空间的一个基， 所以解得 所以＝17－5－30. [方法总结] 1．判断三个向量能否作为基，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断． 2．求一个向量在不同基下的表示式，一般采用待定系数法，即设出该向量在新基下的表示式，将其转化为在原基下的表示式，再对比系数． [训练1]　设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基的向量组有(　　) A．1个　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 C　[如右图，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝． 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面． 所以②③④可以作为基．] [知能解读]　用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来