3.2.1-3.2.2 从平面向量到空间向量&空间向量的运算(加减法与数乘)（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　空间向量与向量运算 2．1　从平面向量到空间向量 2．2　空间向量的运算(加减法与数乘) 课程内容标准 学科素养凝练 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念． 2．经历由平面向量的线性运算推广到空间向量的过程，掌握空间向量的线性运算及其运算律． 3．掌握空间向量共线、共面的充要条件及其应用． 通过空间向量的概念、空间向量的线性运算及共线、共面的充要条件的学习，达成数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养． 1．定义：在空间中，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量． 2．长度或模：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模． 3．表示法 (1)几何表示法：空间向量用有向线段表示． (2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示，若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或||． 4．特殊的空间向量及空间向量的位置关系 名称 定义 表示法 零向量 模为0的向量，方向为任意方向 0 单位向量 模为1的向量 |a|＝1或||＝1 相等向量 方向相同且模相等的向量．正是由于这一点，数学中所研究的向量，与向量的起点无关，称之为自由向量 a＝b或＝ 相反向量 方向相反且模相等的向量 －a 共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量或平行向量 a∥b 规定：零向量与任意向量平行 0∥a 共面向量 平行于同一平面的向量，叫作共面向量．当表示向量a的有向线段所在直线平行于平面α或在平面α内时，就说向量a平行于平面α a∥α 空间中，任意两个向量总是共面的 向量运算 定义 运算法则(或几何意义) 运算律 加法 求空间向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 空间向量a与b的差可定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数与空间向量的乘积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，向量λa与向量a方向相同；当λ＜0时，向量λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a， (λ＋μ)a＝λa＋μ a， λ(a＋b)＝λa＋λb， 其中λ∈R，μ∈R 1．共线向量基本定理(一维向量基本定理)： 空间两个向量a，b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使a＝λb． 2．共面向量的充要条件： 若两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(√) (2)若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面．(×) (3)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(√) (4)对空间任一点O，若＝x＋y(x＋y＝1)，则P，A，B三点共线．(√) (5)对空间任一点O，若＝x＋y＋z，则P，A，B，C四点共面．(×) (6)若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面．(×) 2．(教材第100页练习题1改编)在四面体OABC中，＋－等于(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． C　[＋－＝－＝＋＝.] 3．(教材第100页练习题3改编)已知在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ D　[＝＋＝＋＝＋(＋).所以x＝1，y＝.] 4．(多空题)(教材第99页例1改编)如下图，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，用，，表示，，则＝__________，＝__________． －＋　＋－　 [＝＋＝－＋，＝＋＝＋－.] (1)下列说法正确的是(　　) A．若|a|<|b|，则a<b B．若a，b为相反向量，则a＋b＝0 C．空间内两平行向量相等 D．在四边形ABCD中，－＝ (2)如右图，在平行六面体ABCD ­A′B′C′D′中，顶点连接的所有向量中，与向量相等的向量有____________；与向量相反的向量有______________．(要求写出所有符合条件的向量) [分析]　根据相等向量、相反向量等有关概念判断． (1)D　[向量的模有大小，但向量不能比较大小，选项A错误；相反向量的和为向量0，不是0，选项B错误；相等向量满足模相等、方向相同两个条件，平行向量不一定具备，选项C错误；选项D正确．] (2)，，　，，，　 [根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，