2.4.1 直线与圆锥曲线的交点（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4．1　直线与圆锥曲线的交点 课程内容标准 学科素养凝练 1.会判断直线与圆锥曲线的位置关系． 2．能运用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值(范围). 通过直线与圆锥曲线的位置关系的运用，发展直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 将直线与圆锥曲线方程联立，消元得到方程ax2＋bx＋c＝0. 方程特征 交点个数 位置关系 直线与椭圆 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 直线与双曲线 a＝0 1 直线与双曲线的渐近线平行，且两者相交 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 直线与抛物线 a＝0 1 直线与抛物线的对称轴重合或平行，且两者相交 a≠0，Δ＞0 2 相交 a≠0，Δ＝0 1 相切 a≠0，Δ＜0 0 相离 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交．(√) (2)直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，一定相切．(×) (3)若抛物线C上存在关于直线l对称的两点，则需满足直线l与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式Δ>0.(×) 2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋＝1的位置关系是(　　) A．相离　　　　　　　　　 B．相切 C．相交 D．无法确定 C　[由消去y，得3x2＋2x－1＝0. 则Δ＝22＋12＝16＞0． 所以直线与椭圆相交．] 3．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝(　　) A．8　　　　 B．6 C．4　　　　 D．2 D　[由题意可知，F(1，0)，抛物线方程为x＝－1，又|AF|＝2，所以点A的横坐标为1. 所以AF⊥x轴．所以|BF|＝|AF|＝2.] 4．已知双曲线C：x2－＝1，过点P(1，2)的直线l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 B　[如下图． 过点P(1，2)与双曲线x2－＝1有且只有一个公共点有两种情况，分别是垂直于x轴和与渐近线y＝－2x平行．] [知能解读]　直线与椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．判断直线与椭圆的位置关系常用代数法，即将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ.那么：若Δ＞0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． 已知直线y＝x＋m与椭圆＋＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m的取值范围． 解　由消去y，得 25x2＋32mx＋16m2－144＝0. 则Δ＝(32m)2－4×25×(16m2－144)＝9×43(25－m2). 当Δ＞0，即－5＜m＜5时，直线和椭圆相交； 当Δ＝0，即m＝±5时，直线和椭圆相切； 当Δ＜0，即m＞5或m＜－5时，直线和椭圆相离． 综上所述，当m∈(－∞，－5)∪(5，＋∞)时直线与椭圆相离； 当m＝±5时，直线与椭圆相切； 当m∈(－5，5)时，直线与椭圆相交． [方法总结]　用代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤 (1)确定直线与椭圆的方程； (2)联立直线方程与椭圆方程； (3)消元得到关于x(或y)的一元二次方程； (4)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离． [训练1]　直线y＝kx－k＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是________． [，5)　[直线y＝k(x－1)＋1恒过定点P(1，1)，直线与椭圆总有公共点等价于点P(1，1)在椭圆内或在椭圆上． 所以＋≤1.解得m≥. 又0<m<5，故m∈[，5).] 讨论直线l：y＝kx＋1与双曲线C：x2－y2＝1的公共点的个数． 解　由消去y，整理，得 (1－k2)x2－2kx－2＝0. ①当k＝1时，x＝－1. ②当k＝－1时，x＝1. ③当k≠±1时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝8－4k2. 若Δ＞0，则－＜k＜；若Δ＝0，则k＝±；若Δ＜0，则k＜－或k＞. 综上，当k＜－或k＞时，直线l与双曲线C没有公共点；当k＝±时，直线l与双曲线C相切于一点；当k＝±1时，直线l与双曲线C相交于一点；当－＜k＜－1或－1＜k＜1或1＜k＜时，直线l与双曲线C有两个公共点． [方法总结]　由直线与双曲线交点的个数确定参数的取值(范围)时，可将直线方程与双曲线方程联立，通过消元转化为含有参数的一元二次方程，通过判别式Δ