2.2.1 双曲线及其标准方程（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§2　双曲线 2．1　双曲线及其标准方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.了解双曲线的定义． 2．了解双曲线的几何图形和标准方程． 3．能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程． 通过双曲线定义及标准方程的学习与应用，进一步增强直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养． 1．双曲线的定义 定义 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线 焦点 两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距 集合语言 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|} 2.在双曲线定义中，只有当0＜2a＜|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线；当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；当2a＞|F1F2|时，动点的轨迹不存在． 焦点位置 在x轴上 在y轴上 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(×) (2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(×) (3)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(×) (4)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线的交点在同一分支上，则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|.(√) (5)方程mx2＋ny2＝1表示双曲线的充要条件是mn<0.(√) 2．双曲线－＝1的焦距为(　　) A．3　　　　 B．4　　　　 C．3　　　　 D．4 D　[c2＝10＋2＝12，所以c＝2.故焦距为4.] 3．若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　) A．11 B．9 C．5 D．3 B　[由题意知||PF2|－3|＝6，即|PF2|－3＝±6，解得|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去).] 4．[教材第61页练习题1(3)改编]经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是____________. －＝1　[设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(m＜0，n＞0)， 则解得 故双曲线的标准方程为－＝1.] 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)经过点P(3，)，Q(－，5)； (2)c＝，经过点(－5，2)，焦点在x轴上． 解　(1)方法一　当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0). 因为点P(3，)和Q(－，5)在双曲线上， 所以解得 (舍去) 当焦点在y轴上时， 设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0). 将P，Q两点坐标代入可得 解得 故双曲线的标准方程为－＝1. 综上，双曲线的标准方程为－＝1. 方法二　设双曲线方程为＋＝1(mn<0). 因为P，Q两点在双曲线上， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)方法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0). 则有解得 故双曲线的标准方程为－y2＝1. 方法二　由焦点在x轴上，c＝， 设所求双曲线方程为－＝1(0<λ<6). 把(－5，2)代入，得－＝1. 解得λ＝5或λ＝30(舍去). 所以所求双曲线的标准方程是－y2＝1. [方法总结]　用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 (1)定位置：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上； (2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程[当不确定焦点在哪条坐标轴上时，一般设为＋＝1(mn＜0)]； (3)求值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程 [训练1]　(1)已知双曲线过M(1，1)，N(－2，5)两点，求双曲线的标准方程． (2)求与双曲线－＝1有相同的焦点，且过点P(2，1)的双曲线的方程． 解　(1)设双曲线的方程为＋＝1(mn<0). 因为双曲线过点M(1，1)，N(－2，5)， 所以解得即 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)设双曲线的方程为－＝1(－2<λ<4). 因为双曲线过点P(2，1)， 所以－＝1. 解得λ＝－4(舍去)或λ＝1. 所以所求双曲线的方程为－＝1. (1)若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是(　　) A．[－4，1) B．(－∞，－4)∪(