第5章 习题课 组合问题的综合应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

习题课　组合问题的综合应用 1．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　) A．60种 B．63种 C．65种 D．66种 D　[均取奇数时，有C＝5种方法；均取偶数时，有C＝1种方法；取两奇两偶时，有C×C＝60种方法．故共有5＋1＋60＝66种方法．] 2．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会．若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　) A．140种 B．120种 C．35种 D．34种 D　[从反面考虑，7人任意选4人的方法数减去全选男生的方法数即为所求．故既有男生又有女生的不同的选法共有C－C＝34种．] 3．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案有(　　) A．180种 B．90种 C．360种 D．900种 B　[先从6个班中选出2个班，有C种方法，其中的1种方法选出的是甲、乙两个班；再从4个人中选2个人去甲班，余下2个人去乙班，有C种方法．所以共有CC＝15×6＝90种方法．] 4．某校高二年级数学组有8名女老师，4名男老师，物理组有4名女老师，3名男老师，学校决定从这两个学科组各选2名老师参加“极课大数据”培训活动，则选出的4人中恰好有2名女老师的不同方法有(　　) A．84种 B．120种 C．384种 D．504种 D　[分三类：第一类，从数学组选出2名女老师，物理组选出2名男老师，共有CC＝84种方法；第二类，从数学组选出2名男老师，物理组选出2名女老师，共有C×C＝36种方法；第三类，从数学组选出1名女老师，物理组选出1名女老师，共有C×C×C×C＝384种方法．所以选出的4人中恰好有2名女老师的不同方法共有84＋36＋384＝504种．] 5．某乒乓球队有男运动员5名、女运动员6名，要组织一场混合双打比赛，不同的组合方法种数为(　　) A.C×C 　　 B．C×A C．C×A×C×A 　　 D．A×A B　[分两步：第一步，选出2名男队员，有C种方法；第二步，从6名女队员中选出2名且与已选好的男队员配对，有A种方法．故共有C×A种方法．] 6．6名同学到甲、乙、丙3个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　) A．120种 B．90种 C．60种 D．30种 C　[先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法；再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法；最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法．由分步乘法计数原理知，共有C×C×C＝60种不同的安排方法．] 7．从2名女生，4名男生中选3人参加科技比赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有__________种．(用数字作答) 16　[方法一(直接法)　按参加的女生人数可分两类：只有1名女生参加，有C×C种方法，有2名女生参加，有C×C种方法．故共有C×C＋C×C＝2×6＋4＝16种方法． 方法二(间接法)　从2名女生，4名男生中选3人，共有C种选法；没有女生参加的选法有C种，故共有C－C＝20－4＝16种选法．] 8．某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有________种不同的选法． 714　[若只有1名队长入选，则选法种数为C×C；若两名队长均入选，则选法种数为C×C，故不同选法有C×C＋C×C＝714种．] 9．现有5名男司机，4名女司机，需选派5人组成运输小分队． (1)若派3名男司机，2名女司机，则共有多少种不同的选派方法？ (2)若至少有2名男司机，则共有多少种不同的选派方法？ 解　(1)可分两步完成这件事情：第一步，选3名男司机，有C种不同的选法；第二步，选2名女司机，有C种不同的选法．根据分步乘法计数原理，共有C×C＝60种不同的选法． (2)可分四类完成这件事情：第一类，选2名男司机、3名女司机，有C×C种不同的选法；第二类，选3名男司机、2名女司机，有C×C种不同的选法；第三类，选4名男司机、1名女司机，有C×C种不同的选法；第四类，选5名男司机，有C×C种不同的选法．所以共有C×C＋C×C＋C×C＋C×C＝121种不同的选法． 10．如下图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ (2)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？其中含点C1的有多少个？ 解　(1)构成四边形需要四个点，且无三点共