第2章 习题课 直线与圆锥曲线的综合应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

习题课　直线与圆锥曲线的综合应用 1．已知抛物线C：y2＝2x，过原点O作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为(　　) A．2 B．3 C． D．4 C　[设直线AB的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2). 由得y2－2my－2t＝0. 所以y1y2＝－2t. 由OA⊥OB，得 x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝0. 所以y1y2＝－4. 所以t＝2.故直线AB过定点(2，0). 所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2－＝.] 2．设F1(－c，0)，F2(c，0)是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P是C的右支上异于顶点的任意一点，PQ是∠F1PF2的平分线，过点F1作PQ的垂线，垂足为Q，O为坐标原点，则|OQ|(　　) A．为定值a B．为定值b C．为定值c D．不确定，随点P位置变化而变化 A　[如下图，延长F1Q，PF2交于点M，则三角形PF1M为等腰三角形． 可得Q为F1M的中点， 由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝|F2M|＝2a. 由三角形中位线定理可得|OQ|＝|F2M|＝a.] 3．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上，且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C． D． B　[设点A的坐标为(a2，a)，点B的坐标为(b2，b)，则ab＜0.设直线AB的方程为x＝ty＋m，与抛物线y2＝x联立，消去x，得y2－ty－m＝0.故 ab＝－m.由·＝2，得a2b2＋ab＝2.故ab＝－2或ab＝1(舍去).所以m＝2.所以△ABO的面积等于m|a－b|＝|a－b|＝＝|a|＋，△AFO的面积等于×|a|＝.所以△ABO与△AFO的面积之和等于＋≥2 ＝3.] 4．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6，4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________． －5　[由椭圆的方程可知F2(3，0)， 由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|. 所以|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a， 当且仅当M，P，F2三点共线时等号成立． 又|MF2|＝＝5，2a＝10， 所以|PM|－|PF1|≥5－10＝－5. 故|PM|－|PF1|的最小值为－5.] 5．已知点P(a，0)，若抛物线y2＝4x上任一点Q都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________． (－∞，2]　[若抛物线y2＝4x上任一点Q都满足|PQ|≥|a|，则a≤0显然适合． 当a>0时，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|，即a2≤(a－)2＋y2恒成立，亦即a≤2＋恒成立．又y2≥0，解得0<a≤2. 综上，实数a的取值范围是(－∞，2].] 6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，过点A(0，－b)和B(a，0)的直线与原点的距离为. (1)求双曲线C的方程． (2)直线y＝kx＋m(km≠0)与该双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N两点都在以点A为圆心的同一圆上，求m的取值范围． 解　(1)依题意可知直线AB方程为 ＋＝1，即bx－ay－ab＝0， 所以原点到直线AB的距离d＝＝. 由解得a2＝3，b2＝1. 所以双曲线C的方程为－y2＝1. (2)由消去y，得 (1－3k2)x2－6kmx－3m2－3＝0. 由已知，得1－3k2≠0， Δ＝12(m2＋1－3k2)>0. 则m2＋1>3k2.① 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0). 则x0＝＝，y0＝kx0＋m＝. 因为AP⊥MN， 所以kAP＝＝＝－. 整理得3k2＝4m＋1.　② 由①②，得m2－4m>0. 所以m<0或m>4. 又3k2＝4m＋1>0，所以m>－. 因此－<m<0或m>4. 故m的取值范围为(－，0)∪(4，＋∞). 7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且过点A(2，1). (1)求C的方程． (2)点M，N在C上，AM⊥AN, AD⊥MN，D为垂足，求证：存在定点Q，使得|DQ| 为定值． (1)解　由题意得＋＝1，＝. 解得a2＝6，b2＝3. 所以C的方程为＋＝1. (2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2). 若直线MN与x轴不垂直， 则设直线MN的方程为y＝kx＋m. 代入＋＝1， 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 所以Δ＝(4km)2－4(2k2＋1)(2m2－6) ＝48k2－8m2＋24＞0. 所以6k2－m2＋3＞0. 于是x1