6.4.2 超几何分布（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．2　超几何分布 1．(多选题)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，则下列四种变量中服从超几何分布的是(　　) A．X表示取出的最大号码 B．X表示取出的最小号码 C．取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D．X表示取出的黑球个数 CD　[显然选项A，B不符合超几何分布特征，选项C，D符合超几何分布的特征．] 2．一个盒子里装有除颜色外都相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是(　　) A.没有白球 B．至少有1个白球 C．至少有1个红球 D．至多有1个白球 B　[＝＋表示任取的2个球中只有1个白球或2个都是白球的概率，即至少有1个白球的概率．] 3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的件数，则EX等于(　　) A． B． C． D．1 A　[方法一　X服从参数为10，3，2的超几何分布，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. 所以EX＝1×＋2×＝. 方法二　从10件产品中任取1件为次品的概率是p＝，由于X服从超几何分布，故EX＝np＝2×＝.] 4．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，若P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A.10% B．20% C．30% D．40% B　[设10件产品中有x件次品，则P(ξ＝1)＝＝＝.解得x＝2或8. 因为次品率不超过40%，所以x＝2. 故次品率为＝20%.] 5．从一批含有13件正品，2件次品的产品中不放回地任取3件，则至少取得1件次品的概率是________． 　[至少有1件次品，包含有1件次品和有2件次品两种情况．用X表示取出次品件数，则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.] 6．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，若至多有1本语文课本的概率是，则语文课本的本数为________． 4　[设语文课本有m本，任取2本书中的语文课本数为X，则X服从参数为N＝7，M＝m，n＝2的超几何分布，P(X＝k)＝(k＝0，1，2). 由题意，得P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝×＋＝. 所以m2－m－12＝0.解得m＝4或m＝－3(舍去). 故7本书中语文课本有4本．] 7．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛． (1)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率． (2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列． 解　(1)由已知，得P(A)＝＝.所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X服从参数为N＝8，M＝5，n＝4的超几何分布，它的分布列为 P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4). 如下表： X 1 2 3 4 P 8.PM 2.5是指悬浮在空气中的直径小于或等于2.5 μm的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．根据现行的国家标准GB 3095—2012，PM 2.5日均值在35 μg/m3 以下空气质量为一级，在35 μg/m3～75 μg/m3之间空气质量为二级，在75 μg/m3以上空气质量为超标．从某自然保护区2019年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示． PM 2.5日均值/(μg/m3) [25，35] (35，45] (45，55] (55，65] (65，75] (75，85] 频数 3 1 1 1 1 3 (1)从这10天的PM 2.5日均值监测数据中随机抽出3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率． (2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列． 解　(1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中随机抽出3天，恰有1天空气质量达到一级”为事件A，则P(A)＝＝. (2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3.它的分布列为 P(ξ＝k)＝(k＝0，1，2，3). 如下表： ξ 0 1 2 3 P 9．某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机