6.3.1 离散型随机变量的均值（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　离散型随机变量的均值与方差 3．1　离散型随机变量的均值 1．已知某一随机变量X的分布列如下表所示，若EX＝6.3，则a的值为(　　 ) X a 7 9 P b 0.1 0.4 A.4　　　　　 B．5　　　　　 C．6　　　　 D．7 A　[根据分布列的性质可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又EX＝a×0.5＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.] 2．已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下表： ξ p q P q p 若Eξ＝，则p2＋q2＝(　　) A． B． C． D．1 C　[由p＞0，q＞0，Eξ＝，根据随机变量ξ的分布列的性质，得 所以p2＋q2＝(q＋p)2－2pq＝1－＝.] 3．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85.设发现目标的雷达数为ξ，则Eξ的值为(　　) A．0.765 B．1.75 C．1.765 D．0.22 B　[ξ可取的值为0，1，2，则 P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015； P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22； P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765. 所以Eξ＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.] 4．在口袋中装有黑、白2个球，从中随机取1球，记下它的颜色，然后放回，再取1球，又记下它的颜色，这2次取出白球数X的均值为(　　) A．1 B． C．2 D．3 A　[随机变量X的所有可能值为0，1，2.则 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列如下表： X 0 1 2 P 则EX＝0×＋1×＋2×＝1.] 5．有一个质地均匀的正方体，它的6个面中有3个面上标着数字1，有2个面上标着数字2，有1个面上标着数字3.现将此正方体任意抛掷2次，记向上的面的数字之和为ξ，则Eξ＝________． 　[由题意可得，ξ的可能取值为2，3，4，5，6. 任意抛掷1次正方体， 出现数字1的概率为＝， 出现数字为2的概率为＝， 出现数字为3的概率为. 则P(ξ＝2)＝×＝， P(ξ＝3)＝×＋×＝， P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝， P(ξ＝5)＝×＋×＝， P(ξ＝6)＝×＝. 所以Eξ＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝.] 6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X＝|a－b|，则X的均值EX为________． 　[对称轴在y轴的左侧(a与b同号)的抛物线有2C×C×C＝126条，X可取的值为0，1，2.则 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 故EX＝0×＋1×＋2×＝.] 7．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，则Eξ的最大值是________. ξ －1 0 a P ＋a －b －　[根据分布列的性质得，＋＋a＋－b＝1.所以a－b＝0，即a＝b. 根据公式得 Eξ＝－1×＋a(－b)＝－＋b(－b). 化简得Eξ＝－b2＋b－. 故当b＝时，Eξ取得最大值－.] 8．袋中有4个黑球，3个白球和2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数． 求：(1)X的分布列；(2)X的均值． 解　(1)由题意知，X可能取值为0，1，2，3，4.则 P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝. 故X的分布列如下表： X 0 1 2 3 4 P (2)EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 9．在一次抽奖活动中，有甲、乙等6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取2人，均奖励1 000元，再从余下的4人中随机抽取1人，奖励600元，最后还从这4人中随机抽取1人，奖励400元． (1)求甲和乙都不获奖的概率． (2)设X是甲获奖的金额，求X的分布列和均值． 解　(1)设“甲和乙都不获奖”为事件A， 则P(A)＝＝. 所以甲和乙都不获奖的概率为. (2)X的所有可能的取值为0，400，600，1 000， P(X＝0)＝××＝， P(X＝400)＝××＝， P(X＝600)＝××＝， P(X＝1 000)＝＋××＝. 则X的分布列如下表： X 0 400 600 1 000 P 所以EX＝0×＋400×＋600×＋1 000×＝500(元). 所以甲获奖的金额的均