5.4.1 二项式定理（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§4　二项式定理 4．1　二项式定理的推导 1．在(－)6的二项展开式中，x2的系数为(　　) A．－ B． C．－ D． C　[由Tr＋1＝C·()6－r·(－)r可得，r＝1时，x2的系数为－.] 2．使(3x＋)n(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[Tr＋1＝C(3x)n－r()r＝C3n－rxn－r，若Tr＋1是常数项，则n－r＝0.当r＝2，n＝5时符合题意．] 3．将(3＋x)n的展开式按照x的升幂排列，若倒数第3项的系数是90，则n的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 B　[依题意C·32＝90，得到C＝10.解得n＝5.] 4．(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　) A．12 B．16 C．20 D．24 A　[方法一　(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中，x3的系数为1×C＋2C＝12. 方法二　因为(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)·(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)， 所以x3的系数为1×4＋2×4＝12.] 5．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 C　[x3y3＝x·(x2y3)，相应系数为－C×22＝－40， x3y3＝y·(x3y2)，相应系数为C×23＝80， 所以x3y3的系数为80－40＝40.] 6．(x＋)5的展开式中x2的系数是________． 10　[因为Tr＋1＝Cx5－r()r＝2rCx5－3r. 令5－3r＝2，得r＝1. 所以T2＝2Cx2＝10x2.所以x2的系数是10.] 7．(2021·北京卷)(x3－)4展开式中常数项为________． －4　[(x3－)4的展开式的通项 Tr＋1＝C(x3)4－r(－)r＝(－1)rCx12－4r. 令12－4r＝0，得r＝3. 故常数项为T4＝(－1)3C＝－4.] 8．(ax＋)6的展开式的常数项为160，则实数a＝________． 2　[方法一　(ax＋)6的展开式的通项 Tr＋1＝C(ax)6－r()r＝Ca6－rx6－2r. 令6－2r＝0，得r＝3. 所以Ca6－3＝160.解得a＝2. 方法二　(ax＋)6＝(ax＋)(ax＋)(ax＋)(ax＋)(ax＋)(ax＋)，要得到常数项，需ax与的个数相同，各为3个，所以从6个因式中选择3个ax的系数，即Ca3＝160.解得a＝2.] 9．(多空题)(2021·浙江卷)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝___________，a2＋a3＋a4＝___________． 5　10　[(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1， (x＋1)4＝x4＋4x3＋6x2＋4x＋1， 所以a1＝1＋4＝5，a2＝－3＋6＝3，a3＝3＋4＝7，a4＝－1＋1＝0. 所以a2＋a3＋a4＝10.] 10．已知(1＋mx)n(m∈R，n∈N＋)的展开式中二项式系数之和为32，且含x3项的系数为80. (1)求m，n的值． (2)求(1＋mx)n(1－x)6展开式中含x2项的系数． 解　(1)由题意，2n＝32，故n＝5. 通项Tr＋1＝Cmrxr(r＝0，1，…，5)，则r＝3. 所以Cm3＝80.所以m＝2. (2)(1＋2x)5(1－x)6＝[C＋C(2x)1＋C(2x)2＋…](C－Cx＋Cx2＋…)＝(1＋10x＋40x2＋…)(1－6x＋15x2＋…)， 所以展开式中含x2项的系数为 1×15＋10×(－6)＋40×1＝－5. 11．已知(＋)n的展开式中偶数项二项式系数和比(1＋x)2n展开式中奇数项二项式系数和小120. (1)求(1＋x)2n展开式中二项式系数最大的项． (2)设(＋)n展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求p＋q. 解　(1)由题意可得2n－1＋120＝22n－1， 故有(2n－16)(2n＋15)＝0，即2n＝16. 解得n＝4. 则(1＋x)2n＝(1＋x)8，展开式中二项式系数最大的项为T5＝Cx4＝70x4. (2)(＋)n＝(＋)4， 其二项展开式的通项 Tr＋1＝C()4－r()r＝Cx2－r. 取2－r＝0，可得r＝2. 所以常数项p＝C＝6. 取x＝1，可得展开式中所有项系数的和为q＝24＝16. 所以p＋q＝22. 12．(x2－x－2)4的展开式中x3的系数为______________．(用数字作答) －40　[(x2－x－2)4＝[x2－(x＋2)]4，展开后只有(x＋2)4与－Cx2(x＋2)3中含x3项，其系数和为C×2－C×