5.1.3 基本计数原理的简单应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

1.3　基本计数原理的简单应用 1．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成的不同的直线共有(　　) A．18条 B．20条 C．25条 D．10条 A　[从集合中选2个不同数作系数A，B，有5×4＝20种选法，其中x＋2y＝0与2x＋4y＝0，2x＋y＝0与4x＋2y＝0表示同一条直线．故共有不同的直线20－2＝18条．] 2．现将4种不同花卉种植在右图所示A，B，C，D区域，要求相邻区域种植不同花卉，不同的种植方法有(　　) A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 D　[先种C，有4种方法；然后种D，有3种方法；再种A，有3种方法；最后种B，有2种方法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种方法．] 3．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　) A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 B　[①首位为5，末位为0：有4×3×2＝24个；②首位为5，末位为2：有4×3×2＝24个；③首位为5，末位为4：有4×3×2＝24个；④首位为4，末位为0：有4×3×2＝24个；⑤首位为4，末位为2：有4×3×2＝24个．故共有24×5＝120个.] 4．如右图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面上的线爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的路径有(　　) A．40条 B．60条 C．80条 D．120条 B　[蚂蚁从A到C需要走五段路，其中三纵二横，共有10条路径；从C到B共有3×2＝6条路径．根据分步乘法计数原理，蚂蚁从A到B可以爬行的不同的路径有10×6＝60条．] 5．将右图中的A，B，C，D四个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色．现有红、黄、蓝三种不同颜色可以选择，则不同的染色方法共有(　　) A．12种 B．18种 C．20种 D．22种 B　[若A，D同色，则先染A，有3种方法；再染B，有2种方法；最后染C，有2种方法．故共有3×2×2＝12种方法．若A，D不同色，则先染A，有3种方法；然后染D，有2种方法；再染B，有1种方法；最后染C，有1种方法．故共有3×2×1×1＝6种方法．根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18种方法．] 6．某日，从甲城市到乙城市的火车共有10个车次，飞机共有2个航班，长途汽车共有12个班次．若该日小张只选择这3种交通工具中的1种，则他从甲城市到乙城市共有________种选法． 24　[根据题意，分三类：第一类，小张选择火车，有10种选法；第二类，小张选择飞机，有2种选法；第三类，小张选择长途汽车，有12种选法．故从甲城市到乙城市共有10＋2＋12＝24种选法．] 7．从0到9十个数字中选出4个组成一个四位数，则组成的数字不重复的四位偶数共有________个． 2 296　[0在末位时，十、百、千位分别有9，8，7种安排方法，共有符合题意的数9×8×7＝504个；0不在末位时，2，4，6，8中的一个在末位，有4种排法，首位有8种(0除外)排法，其余两位各有8，7种排法，所以共有符合题意的数4×8×8×7＝1 792个．综上，共有符合题意的偶数504＋1 792＝2 296个．] 8．某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为________． 42　[第一步，将第一个新节目插入5个节目排成的节目单，有6种插入方法；第二步，将第二个新节目插入到刚排好的6个节目排成的节目单，有7种插入方法．利用分步乘法计数原理，共有6×7＝42种插入方法．] 9．现用4种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如下图)涂色，要求相邻的词语涂色不同，则不同的涂法种数有多少？ 解　第一步，给最左边一块涂色，有4种涂法；第二步，给左边第二块涂色，有3种涂法；第三步，给第三块涂色，有3种涂法；第四步，给第四块涂色，有3种涂法．根据分步乘法计数原理知，共有4×3×3×3＝108种涂法． 10．用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后将这些三位数由小到大排成一个数列． (1)求这个数列的项数． (2)求这个数列中的第89项的值． 解　(1)完成这件事需要分别确定百位、十位和个位数，因此要分步完成． 第一步，确定百位数，有6种方法； 第二步，确定十位数，有5种方法； 第三步，确定个位数，有4种方法． 根据分步乘法计数原理，共有N＝6×5×4＝120个三位数． 所以这个数列的项数为120. (2)这个数列中，百位是1，2，3，4的共有4×5×4＝80个，百位是5的三位数中，十位是1或