3.4.3 第1课时 空间中的角（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

4．3　用向量方法研究立体几何中的度量关系 第1课时　空间中的角 1．已知直线l1的方向向量s1＝(1，0，1)与直线l2的方向向量s2＝(－1，2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． C　[因为s1＝(1，0，1)，s2＝(－1，2，－2)， 所以cos 〈s1，s2〉＝＝＝－. 又两直线夹角的取值范围为， 所以l1和l2夹角的余弦值为.] 2.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC­A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　) A． B． C． D． A　[设CB＝1，则 A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，B(0，0，1). 所以＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1). 故cos 〈，〉＝＝＝.] 3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，则A1B1与平面A1EF夹角的正弦值为(　　) A． B． C． D． B　[建立如图所示空间，直角坐标系，则A1(1，0，1)，E(1，，0)，F(0，，1)，B1(1，1，1). 所以＝(0，1，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，，0). 设平面A1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝2，则x＝1，z＝1. 所以n＝(1，2，1)，cos 〈n，〉＝＝. 设A1B1与平面A1EF的夹角为θ， 则sin θ＝|cos 〈n，〉|＝. 即所求线面角的正弦值为.] 4.如右图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝，D，E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为(　　) A． B． C． D． A　[因为AB＝1，AC＝2，BC＝， AC2＝BC2＋AB2. 所以AB⊥BC. 因为三棱柱为直三棱柱， 所以BB1⊥平面ABC. 以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系B­xyz， 则A(0，1，0)，C(，0，0). 设B1(0，0，a)，则C1(，0，a). 所以D(，，)，E(0，0，). 所以＝(－，－，0)，平面BB1C1C的一个法向量为＝(0，1，0). 设直线DE与平面BB1C1C所成的角为α， 则sin α＝|cos 〈，〉|＝. 所以α＝.] 5．(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列四个结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AB与CD所成的角为60° C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成的角为60° ABC　[如下图，取BD的中点O，连接AO，CO. 易知BD垂直于平面AOC，故AC⊥BD，选项A正确． 如上图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为a， 则A(a，0，0)，B(0，－a，0)，C(0，0，a)， D(0，a，0)， 故＝(－a，－a，0)， ＝(0，a，－a). 由两向量夹角公式得cos 〈，〉＝－. 故两异面直线所成的角为，选项B正确． 在直角三角形AOC中，由AO＝CO＝a，得AC＝AO＝a.所以三角形ADC为等边三角形，选项C正确． 易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，可求得∠ABO＝45°，故选项D错误．] 6.如右图，在四棱锥P­ABCD 中，底面ABCD是矩形，PD⊥ 平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当平面PEC与平面ABCD的夹角为时，AE等于(　　) A.1 B． C．2－ D．2－ D　[如右图，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设AE＝m. 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，E(1，m，0)，C(0，2，0). 取平面ABCD的一个法向量n1＝(0，0，1). 设平面PEC的一个法向量为n2＝(a，b，c)，则 又＝(0，2，－1)，＝(1，m－2，0)， 所以所以 令b＝1，得n2＝(2－m，1，2). 故|cos 〈n1，n2〉|＝＝ ＝＝. 所以m＝2－或m＝2＋(舍去). 故AE＝2－.] 7．已知点E，F分别在正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1. (1)求异面直线AE与A1C1所成角的余弦值． (2)求平面AEF与平面ABC的夹角的正切值． 解　(1)建立如右图所示空间直角坐标系． 设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E(1，1，)， F(0，1，). 所以＝(0，1，)，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，). 所以cos 〈，1〉＝＝. 所以异面直线