3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§4　向量在立体几何中的应用 4．1　直线的方向向量与平面的法向量 1．在空间直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为A(2，1，－1)，B(3，4，λ)，C(2，7，1)，若⊥，则λ＝(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．1 C．±3 D．－3 C　[由已知得＝(1，3，λ＋1)，＝(1，－3，λ－1).由⊥，可得·＝0，即1－9＋λ2－1＝0.故λ＝±3.] 2．(多选题)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中成立的是(　　) A．·＝0 B．·＝0 C．·＝0 D．·＝0 ABD　[因为PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA. 又AC⊥BD，所以PC⊥BD. 故选项B正确． 选项A和D显然成立．] 3．点A，B为空间中两个不同的点，且AB＝1，则满足条件·＝1的点M的轨迹是(　　) A．过点B且垂直于直线AB的直线 B．过点M且垂直于直线AB的直线 C．过点B且垂直于直线AB的平面 D．以点A为球心，||为半径的球面 C　[因为·＝1， 所以||||cos 〈，〉＝1. 因为||＝1，所以||cos 〈，〉＝1. 故动点M的轨迹是过点B且垂直于直线AB的平面．] 4．(多选题)正方体ABCD ­A′B′C′D′的棱长为1，建立如下图所示的空间直角坐标系O ­xyz，则下列结论正确的是(　　) A．直线DD′的一个方向向量为v1＝(0，0，1) B．直线BC′的一个方向向量为v2＝(0，1，1) C．平面ABB′A′的一个法向量为n1＝(0，1，0) D．平面B′CD的一个法向量为n2＝(－1，0，1) AD　[v1＝是直线DD′的一个方向向量，选项A正确． ＝(－1，0，1)是直线BC′的一个方向向量，而v2与不共线，因此选项B错误． ＝(1，0，0)是平面ABB′A′的一个法向量，而n1⊥，因此选项C错误． ＝(1，1，1)，＝(0，1，0)， 设n2＝(x2，y2，z2)是平面B′CD 的一个法向量， 则所以 取z2＝1，则n2＝(－1，0，1). 因此选项D正确．] 5．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，那么下列结论正确的是(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ ABC　[选项A，有·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥，即AP⊥AB，正确． 选项B，有·＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以⊥，即AP⊥AD，正确． 选项C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，正确． 选项D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，错误．] 6．已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且＝MC1，N为B1B的中点，则||为(　　) A．a　　 B．a C．a　　 D．a A　[以D为坐标原点建立如下图所示的空间直角坐标系D ­xyz，则A(a，0，0)，C1(0，a，a), N(a，a，). 设M(x，y，z). 因为点M在AC1上，且＝MC1， 所以(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z). 解得x＝，y＝，z＝.故M(，，). 所以||＝ ＝.] 7．在空间直角坐标系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则(　　) A．2x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0 C．x－y＋z＝－4 D．x＋y－z＝0 A　[由题意知，＝(0，1，－1)，＝(－2，2，2)，＝(x－1，y－1，z＋2). 因为A，B，C，D四点共面， 所以存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ. 故(x－1，y－1，z＋2)＝λ(0，1，－1)＋μ(－2，2，2). 所以所以2x＋y＋z＝1.] 8．(多空题)已知向量a＝(1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＝________，y＝________． 1　3　[由题意知a∥b，则＝＝. 可得 把①代入②，得x2＋x－2＝0. 解得x＝－2或x＝1. 当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3. 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，向量a与b反向，不符合题意，故舍去． 当时，b＝(1，2，3)＝a，向量a与b同向，符合题意．] 9.如右图，正方体OABC ­O1A1B1C1的棱长为a，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF＝x，其中0≤x≤a，以O为坐标原点建立空间直角坐标系O ­xyz. (1)写出点E，F的坐标． (2)求证：A1F⊥C1E. (3)若A1，E，F，C1四点共面，求证：＝＋． (1)解　E(a，x，0)，F(a－x，a