3.3.1 空间向量基本定理（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

§3　空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示 3．1　空间向量基本定理 1．在平行六面体OABC ­ O′A′B′C′中，＝a，＝c，＝b，D是四边形OABC的对角线的交点，则(　　) A．＝－a＋b＋c B．＝－b－a－c C．＝a－b－c D．＝a－b＋c D　[＝＋＝－＋(＋)＝－＋＝a－b＋c.] 2．(多选题)已知A，B，C，D，E是空间五点，且，不共线，若{，，}、{，，}均不能构成空间的一个基，则在下列结论中，正确的是(　　) A．{，，}不构成空间的一个基 B.{，，}不构成空间的一个基 C．{，，}不构成空间的一个基 D．{，，}构成空间的一个基 ABC　[由于，，与，，均不能构成空间的一个基，可知，，，为共面向量，即A，B，C，D，E五点共面．故选项A，B，C正确.] 3．正三棱柱ABC ­A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是(　　) A．2 B． C． D． C　[如右图，＝＋＋，且||＝||＝1，||＝2，·＝0，·＝0，〈，〉＝120°，所以2＝||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝1＋4＋1－1＝5.所以||＝，即EF的长为.] 4．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3(e1，e2，e3为空间一个基)，且d＝x a＋y b＋z c，则x，y，z的值分别为(　　) A．，－，－1 B．，，1 C．－，，1 D．，－，1 A　[因为d＝x a＋y b＋z c＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3， 又d＝e1＋2e2＋3e3， 所以 解得x＝，y＝－，z＝－1.] 5．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝_________________________________________. 3a－b＋3c　[＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c.] 6．(多空题)已知空间的一个基{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝x a＋y b＋c，若m与n共线，则x＝_______，y＝________. 1　－1　[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λ n，即a－b＋c＝λx a＋λy b＋λc. 于是有解得] 7．如下图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c. (1)试用a，b，c表示向量. (2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长． 解　(1)＝＋＋ ＝＋＋ ＝(c－a)＋a＋(b－a) ＝a＋b＋c. (2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5， 所以|a＋b＋c|＝. 所以||＝|a＋b＋c|＝，即MN＝. 8．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A．(，，) B．(，，) C．(，，) D．(，，) A　[如右图，由已知得 ＝OG1＝(＋AG1) ＝[＋(＋)] ＝＋[(－)＋(－)] ＝＋＋. 从而x＝y＝z＝.] 9．在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 B　[＝＋＋，＝＋＝－(＋).设正方体的棱长为1，于是·＝(＋＋)·(－－)＝0－－0＋0－0－＋1－0－0＝0.故AC1⊥，即AC1与CE垂直．] 10.如右图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝____________． (＋＋)　[2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋， 所以＝(＋＋).] 11．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC ­A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若＝x＋yAA1＋z，则x＋y＋z＝(　　) A．1 B． C． D． C　[如下图，连接AM，AN. 因为G是MN的中点， 所以＝(＋) ＝(＋＋＋) ＝＋＋. 根据题意知＝x＋y＋z， 所以x＝，y＝，z＝. 所以x＋y＋z＝.] 12.如右图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M. (1)求证：AO，BO，CO两两垂直． (2)求异面直线DM和AO所成角的大小. (1)证明　设＝a，＝b，