2.3.2 抛物线的简单几何性质（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第一册（北师大版2019）

3．2　抛物线的简单几何性质 1．顶点在原点，焦点为F(，0)的抛物线的标准方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝3x C．y2＝6x D．y2＝－6x C　[因为抛物线的焦点为(，0)， 所以p＝3，且抛物线开口向右． 所以抛物线的标准方程为y2＝6x.] 2．已知边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x C　[设抛物线方程为y2＝ax(a≠0). 又A(±，)(取点A在x轴上方)， 则有＝±a，解得a＝±. 所以抛物线方程为y2＝±x.] 3．若双曲线－＝1(p＞0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．4 C　[双曲线的方程可化为－＝1， 则双曲线的左焦点为(－，0). 又抛物线的准线为x＝－， 由题意得－＝－.解得p＝4.] 4．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是(　　) A．11.25 cm B．5.625 cm C．20 cm D．10 cm B　[如右图，以反射镜顶点为原点，以顶点和焦点所在直线为x轴，建立直角坐标系． 设抛物线方程是y2＝2px(p＞0). 因为A(40，30)在抛物线上， 所以302＝2p·40.解得p＝. 所以光源到反射镜顶点的距离为 ＝＝＝5.625(cm).] 5．等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则Rt△ABO 的面积是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 B　[由抛物线的对称性知kOA＝1，从而可得A，B的坐标分别为(2p，2p)，(2p，－2p). 故S△ABO＝×2p×4p＝4p2.] 6．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于(　　) A．－4 B．4 C．p2 D．－p2 A　[①若焦点弦AB⊥x轴，则x1＝x2＝. 所以x1x2＝.所以y1y2＝－p2. 所以＝－4. ②若焦点弦AB不垂直于x轴， 则直线AB斜率存在，设为k， 直线AB的方程为y＝k(x－)， 与y2＝2px联立，消去y，得 k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0. 则x1x2＝.y1y2＝－p2.所以＝－4.] 7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________． 8　[设准线交x轴于点B，O为坐标原点．依题意kAF＝－，则∠AFO＝60°.又|BF|＝4，所以|AB|＝4.则点P的纵坐标为4，所以(4)2＝8xp.解得xp＝6，即点P的横坐标为6.所以|PF|＝|PA|＝8.] 8．(多空题)已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________． 　(，1)　[设点P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线x－y＋3＝0的距离为d＝＝＝.当y0＝1时，dmin＝＝，此时x0＝.所以点P的坐标为(，1).] 9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，则此抛物线的标准方程为________________． x2＝4y或x2＝8y　[设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，A(x0，y0). 由题知M(0，－). 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3. 因为|AM|＝，所以x＋(y0＋)2＝17. 所以x＝8. 代入方程x＝2py0，得8＝2p(3－). 解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为 x2＝4y或x2＝8y.] 10．已知动点M(x，y)到y轴的距离比它到定点(2，0)的距离小2，求动点M(x，y)的轨迹方程． 解　因为动点M到y轴的距离比它到定点(2，0)的距离小2， 所以当动点M在y轴右侧(含原点)时，动点M到定点(2，0)的距离与它到定直线x＝－2的距离相等． 此时动点M的轨迹是以(2，0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线，且p＝4. 所以抛物线的方程为y2＝8x. 又x轴上原点左侧的点到y轴的距离比它到点(2，0)的距离小2， 所以满足方程y＝0(x＜0)的点也在点M的轨迹上． 综上，动点M的轨迹方程为 y2＝8x或y＝0(x＜0). 11．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点