3.8 弧长及扇形的面积（讲+练，6题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

3.8 弧长及扇形的面积 1. 了解弧长公式、扇形面积公式的推导过程及意义 2. 掌握求弧长及扇形面积的公式，并会应用公式解决问题 3. 在探索弧长计算公式时,体验从特殊到一般的学习方法在推导扇形面积公式的过程中,学会类比的方法 知识点一 弧长公式 1. 弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为 注意：在弧长公式中,n表示1°的圆心角的倍数,因此,n和180都不需要带单位“°”. 2.弧长公式的推导过程 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以1°的圆心角所对的弧长是.这样，n°的圆心角所对的弧长的计算公式：，化简为. 即学即练1（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）半径为，的圆心角所对的弧长为（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知扇形的半径是，圆心角是，则该扇形的弧长为 （结果保留）． 知识点二 扇形的面积 一般地，如果扇形的半径为 R,圆心角为 n°,扇形的弧长为,那么扇形面积S的计算公式为 提示 (1) 与弧长公式的推导类似，圆心角为1°的扇形面积是圆面积的，即，圆心角为n°的扇形面积是它的n倍,因此在公式中,n和360都不带单位“°”. (2) 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似,可以把扇形看成一个曲边三角形,把弧长1看成底边,R 看成高,这样对比便于记忆,也便于应用. (3) 扇形的两个面积公式要灵活地选择使用,当已知半径R和圆心角的度数求扇形的面积时,选用公式；当已知半径R和弧长l求扇形的面积时,选用公式. (4) 根据扇形的面积公式和孤长公式,已知，l,n,R四个量中的任意两个量,则可以求出另外两个量. 即学即练1（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知扇形的弧长为，圆心角为120°，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2022秋·浙江·九年级校联考期中）如图，是的直径，的平分线交于点D，连接，．若，，求弧的长和扇形的面积． 知识点3不规则图形面积的求法 求不规则图形的面积时,注意观察分析图形,学会分解和组合图形. 第一步：分析图形可分解为哪些基本图形(如圆扇形、三角形、平行四边形、矩形、正方形等可以直接求面积的图形). 第二步：分析各图形之间有何联系. 第三步：将不规则图形转化为与其面积相等的规则图形求解或将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差)的形式进行求解. 即学即练1（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图，有一个半径为3的圆形时针，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，扇形的圆心角为直角，，点在上，以为邻边构造，边交于点，若，则图中两块阴影部分的面积之和为（    ） A． B． C． D． 题型1 弧长公式的应用 例1（2022秋·浙江温州·九年级校联考期中）已知圆弧的度数为，圆弧的半径为4，则弧长为 ．(结果用表示) 举一反三1（2022秋·浙江丽水·九年级校考期中）已知圆的半径为，的圆心角所对的弧长为 ． 举一反三2（2022秋·浙江金华·九年级校考期中）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以个单位/秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒．    (1)如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度； (2)在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值． 题型2 求扇形半径 例2（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考期中）已知扇形的弧长为，圆心角为，则该扇形的半径是 ． 举一反三1（2022秋·浙江·九年级校考期中）若一个扇形的圆心角是，面积为，则这个扇形的半径是 ． 举一反三2（2022·浙江温州·校考一模）已知圆弧的度数为80°，弧长为16π，则圆弧的半径为 ． 题型3 求某点的弧形运动路径长度 例3（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在中，，．将绕直角顶点按顺时针方向旋转得到．当点第一次落在边上时，点经过的路径长（即的长）为 举一反三1（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是、． (1)将绕点O逆时针旋转后得到，请在图中作出，并求出这时点的坐标为______； (2)在（1）中的旋转过程中，点B经过的路径为弧，求弧的长． 举一反三2（2023·浙江·九年级专题练习）如图，三个顶点的坐标分别