4.1 比例线段（讲+练，4题型）-【划重点】2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（浙教版）

4.1 比例线段 学习目标：1、知道两条线段比的意义； 2、理解比例线段及其有关概念； 3、知道比例线段的性质，能运用比例线段的性质对进行简单的变形。 重点：引进两条线段的比和比例线段；导出比例线段的性质并进行初步的运用。 难点：合比、等比性质的综合运用。 知识点一 比和比例 1.比 （1）比的意义：两个数与相除叫做两个数的比，记作，若的比值为，则； （2）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外），比值不变. 2.比例 （1）比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，(或），那么就说成比例，这个比例式可变形为等积式，还可变形为比例式 注意：比例写成分数的形式后，左边的分母和右边的分子是内项;左边的分子和右边的分母是外项 （2）比例中项：如果比例的两个内项相等 （3）比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积. 比与比例的区别 比表示两个数相除(有两项前项和后项),比例表示两个比相等的式子(有四项，两个内项，两个外项). 即学即练1（2022秋·浙江金华·九年级期中）已知，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 即学即练2（2022秋·浙江舟山·九年级校考期中）已知，那么下列比例式中成立的是（    ） A． B． C． D． 判断四个数成比例的方法 方法1: 判断四个正数是否成比例，首先应该把这四个正数按大小顺序排列，然后分别求出两个较小数的比值和两个较大数的比值.如果这两个比值相等,那么这四个正数成比例,如果这两个比值不相等那么这四个正数不成比例 方法2:要判断四个数，只要看其中两个数的乘积是否等于另两个数的乘积即可 知识点二 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比. 注意： （1）求两条线段的比必须选定同一长度单位,但比值与长度单位的大小无关; （2）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 同学们在做题时如果遇到直角三角形，需要注意以下两点知识总结： （1）在等腰直角三角形中,三边之比为1:1: （2）在含30°角的直角三角形中,三边之比为1::2. 即学即练1（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知线段a，b满足，且． (1)求a，b的值； (2)若线段x是线段a，b的比例中项，求x的值． 即学即练2（2023秋·浙江·九年级期中）计算： (1)已知，求的值． (2)已知线段，，求线段，的比例中项． 知识点三 比例线段 1.线段成比例的定义 对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例. 2. 比例的相关性质 (1)比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. (2) 比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 提示 (1)两条线段的比是指两条线段的长度的比,而比例线段是指四条线段长度之间的关系; (2)四条线段成比例有顺序性,如是线段 a,b,c,d成比例,而不是线段a,c,b,d成比例 即学即练1（2022秋·浙江温州·九年级乐清外国语学校校考阶段练习）已知线段厘米，厘米，那么线段、的比例中项等于 ． 即学即练2（2022秋·浙江绍兴·九年级新昌县七星中学校考期中）已知，那么的值是 ． 知识点四 黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 即学即练1（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市文晖中学校考期中）（1）已知，，若b是a，c的比例中项，求b的值； （2）如图，点C是线段的黄金分割点，已知，求的长． 即学即练2（2022秋·浙江·九年级专题练习）（1）已知a＝4.5，b＝2，c是a，b的比例中项，求c； （2）如图，C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝4，求AC的长． 题型1 比例的性质的运用 例1（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知，则的值是（　　） A．3 B． C． D． 举一反三1（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）已知，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 举一反三2（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）已知，则的值是（　　） A． B．1：3 C． D． 题型2 线段的比的运用 例2（2021·浙江·九年级专题练习）已知，则的值为（      ） A． B． C． D． 举一反三1（2020·浙江绍兴·模拟预测）已知三条线段 满足 ，且 ．     （1）求 的值；     （2）若线段 是线段 和 的比例中项