(配套教参)高分小卷 解答题5 解析几何-【精彩三年·高考尖峰】2024高考总复习数学一轮复习基础拓展训练教师用书word+课件PPT（浙江专用）

高分小卷 解答题5　解析几何 (见学生用书P477) [时间：90分钟] 1．[2022·全国乙卷] 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A，B两点． (1)求E的方程． (2)设过点P的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． 解：(1)设椭圆E的方程为mx2＋ny2＝1，由题意点A，B在椭圆E上， 则解得m＝，n＝，所以椭圆E的方程为＋＝1. (2)证明：A(0，－2)，B， 所以AB：y＋2＝x， ①若过点P(1，－2)的直线斜率不存在， 则为直线x＝1，代入＋＝1， 可得M，N， 代入方程y＝x－2，可得 T，由＝得到 H.求得HN的方程为 y＝x－2，过点(0，－2). ②若过点P(1，－2)的直线斜率存在， 设kx－y－(k＋2)＝0，M(x1，y1)，N(x2，y2). 联立 得(3k2＋4)x2－6k(2＋k)x＋3k(k＋4)＝0，可得 且x1y2＋x2y1＝(*)，联立 可得T，H(3y1＋6－x1，y1). 可求得此时HN：y－y2＝(x－x2)， 将(0，－2)代入整理得2(x1＋x2)－6(y1＋y2)＋x1y2＋x2y1－3y1y2－12＝0， 将(*)代入，得24k＋12k2＋96＋48k－24k－48－48k＋24k2－36k2－48＝0， 显然成立，综上，可得直线HN过定点(0，－2). 2．[2022·新高考Ⅱ卷] 设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程． (2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P，Q在C上，且x1>x2>0，y1>0.过P且斜率为－的直线与过Q且斜率为的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立： ①M在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)右焦点为F(2，0)，∴c＝2， ∵渐近线方程为y＝±x，∴＝，∴b＝a， ∴c2＝a2＋b2＝4a2＝4，∴a＝1，∴b＝. ∴C的方程为x2－＝1. (2)由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零， 若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零； 若选①③推②，则M为线段AB的中点，若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F，此时由对称性可知P，Q关于x轴对称，从而x1＝x2，与已知不符； 综上，直线AB的斜率存在且不为零． 设直线AB的斜率为k，直线AB的方程为y＝k，M(x0，y0)， 则条件①M在AB上，等价于y0＝k⇔ky0＝k2； 两渐近线的方程合并为3x2－y2＝0， 联立消去y并化简整理得x2－4k2x＋4k2＝0， 设A，B，线段AB的中点为N， 则xN＝＝， yN＝k＝， 则条件③＝等价于＋ ＝＋， 移项并利用平方差公式整理得 (x3－x4)[2x0－(x3＋x4)]＋(y3－y4)[2y0－(y3＋y4)]＝0， ＋[2y0－(y3＋y4)]＝0，即x0－xN＋k＝0， 即x0＋ky0＝. 由题意知直线PM的斜率为－， 直线QM的斜率为， ∴由y1－y0＝－， y2－y0＝， ∴y1－y2＝－， 所以直线PQ的斜率 m＝＝－， 直线PM：y＝－＋y0，即y＝y0＋x0－x， 代入双曲线的方程3x2－y2－3＝0，即＝3中， 得＝3， 解得点P的横坐标 x1＝， 同理 x2＝－， ∴x1－x2＝， x1＋x2－2x0＝－－x0， ∴m＝， ∴条件②PQ∥AB等价于m＝k⇔ky0＝3x0， 综上所述： 条件①M在AB上，等价于ky0＝k2； 条件②PQ∥AB等价于ky0＝3x0； 条件③＝等价于x0＋ky0＝； 选①②推③： 由①②，解得x0＝，∴x0＋ky0＝4x0＝，∴③成立； 选①③推②： 由①③，解得x0＝，ky0＝， ∴ky0＝3x0，∴②成立； 选②③推①： 由②③，解得x0＝，ky0＝， ∴x0－2＝，∴ky0＝k2，∴①成立． 3．[2022·新高考Ⅰ卷] 已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0. (1)求l的斜率． (2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积． 解：(1)因为点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上， 所以－＝1，解得a2＝2， 即双曲线C：－y2＝1，易知直线l的斜率存在， 设l：y＝kx＋m，P，Q， 联立可得x2－4mkx－2m2－2＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以由kAP＋kBP＝0可得，＋＝0， 即(x1－2)·(kx2＋m－1)＋(x2－2)(kx1＋m－1)＝0， 即2