(配套教参)高分小卷 解答题2 数列-【精彩三年·高考尖峰】2024高考总复习数学一轮复习基础拓展训练教师用书word+课件PPT（浙江专用）

高分小卷 解答题2 数列 (见学生用书P469) [时间：90分钟] A新全国Ⅰ卷真题演练含类似新高考省份真题 1. [2022·新高考Ⅰ卷] 记Sn为数列的前n项和，已知a1＝1，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式． (2)证明：＋＋…＋<2. 解：(1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴＝1. 又∵是公差为的等差数列， ∴＝1＋＝， ∴Sn＝.当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－， 整理得an＝an－1， 即＝，∴an＝a1×××…×× ＝1×××…××＝，显然对于n＝1也成立， ∴的通项公式为an＝. (2)证明：＝＝2， ∴＋＋…＋＝2[＋＋…＋]＝2<2. 2．[2021·新高考Ⅱ卷] 记Sn是公差不为0的等差数列的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列的通项公式an. (2)求使Sn>an成立的n的最小值． 解：(1)由等差数列的性质可得 S5＝5a3， 则a3＝5a3，∴a3＝0. 设等差数列{an}的公差为d，从而有 a2a4＝＝－d2， S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋＋a3＋＝－2d， 从而－d2＝－2d.由于公差d不为零，故d＝2， 所以数列{an}的通项公式为 an＝a3＋d＝2n－6. (2)由数列{an}的通项公式可得a1＝2－6＝－4， 则Sn＝n×＋×2＝n2－5n， 则不等式Sn>an即n2－5n>2n－6，整理可得 >0， 解得n<1或n>6.又n为正整数，故n的最小值为7. 3．[2021·新高考Ⅰ卷] 已知数列满足a1＝1，an＋1＝ (1)记bn＝a2n，写出b1，b2，并求数列的通项公式． (2)求的前20项和． 解：(1)b1＝a2＝a1＋1＝2，a3＝a2＋2＝4，b2＝a4＝a3＋1＝5，bn＋1－bn＝a2n＋2－a2n＝(a2n＋1＋1)－a2n＝a2n＋3－a2n＝3， ∴是以3为公差的等差数列， ∴bn＝2＋(n－1)×3＝3n－1. (2)a2＋a4＋…＋a20＝＝155， a1＋a3＋a5＋…＋a19＝a2－1＋a4－1＋…＋a20－1＝155－10＝145，∴S20＝155＋145＝300. 4．[2020·海南卷] 已知公比大于1的等比数列满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求的通项公式． (2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1. 解：(1) 设等比数列的公比为q(q>1)， 则整理可得2q2－5q＋2＝0， ∵q>1，∴q＝2，a1＝2，数列{an}的通项公式为an＝2·2n－1＝2n. (2)由于anan＋1＝×2n×2n＋1＝22n＋1，故 a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1 ＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1 ＝ ＝－(－1)n. B新全国Ⅰ卷地区模拟题演练 5．[2023·济南质检] 已知数列{an}是等比数列，公比q>0，且a3是2a1，3a2的等差中项，a5＝32. (1)求数列{an}的通项公式． (2)若bn＝(2n＋1)an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)依题意得2a1q2＝2a1＋3a1q， ∵a1≠0，∴2q2－3q－2＝0.∵q>0， ∴q＝2.又a5＝a1q4＝32，∴a1＝2， ∴an＝2×2n－1＝2n. (2)由(1)知，bn＝(2n＋1)·2n， Tn＝3×21＋5×22＋7×23＋…＋(2n－1)·2n－1＋(2n＋1)·2n，① 2Tn＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)·2n＋1，② ①－②得－Tn＝6＋2·(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1， ∴－Tn＝6＋2×－(2n＋1)·2n＋1， 整理得Tn＝2＋(2n－1)·2n＋1. 6．[2023·宁波模拟] 已知数列的各项均不为零，Sn为其前n项和，且anan＋1＝2Sn－1. (1)证明：an＋2－an＝2. (2)若a1＝－1，数列为等比数列，b1＝a1，b2＝a3.求数列的前2 022项和T2 022. 解：(1)证明：因为anan＋1＝2Sn－1，① 则an＋1an＋2＝2Sn＋1－1，② ②－①得an＋1＝2an＋1，又an＋1≠0， 所以an＋2－an＝2. (2)由a1＝－1，得a3＝1，于是b2＝a3＝1， 由b1＝－1，得的公比q＝－1. 所以bn＝(－1)n，anbn＝(－1)nan. 由a1a2＝2a1－1得a2＝3. 由an＋2－an＝2得a2 022－a2 021＝a2 020－a2 019＝…＝a2－a1＝4， 因此T2 022＝－a1＋a2－a3＋a4…－a2 021＋a2 022 ＝＋＋…＋ ＝1 011×＝1 011×4＝4 044. 学科网（北京）股份有限公司 $$