(配套课件)专题特训3 圆锥曲线的热点问题-【精彩三年·高考尖峰】2024高考总复习数学一轮复习基础拓展训练教师用书word+课件PPT（浙江专用）

1．弦长、最值﹑范围﹑证明问题 专题特训3 　圆锥曲线的热点问题 1．[2023·金华模拟] 已知过定点P(0，1)的直线l交曲线x2－ ＝1于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为45°，求|AB|. (2)若线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程． 1 2 3 4 A 基本问题 全面落实 2．已知椭圆C： ＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－2，0)，长轴长为2 .过右焦点F2的直线l交椭圆C于A，B两点，直线F1A, F1B分别交直线x＝3于点M，N. (1)求椭圆C的方程． (2)设线段AB的中点为T，当点M，N位于x轴异侧时，求T到直线x＝3的距离的取值范围． 1 2 3 4 3．[2023·济宁模拟] 如图，已知抛物线T：y2＝2px(p>0)，点F为其焦点，P为T上的动点，Q为P在动直线x＝t(t<0)上的投影．当△PQF为等边三角形时，其面积为16 . (1)求抛物线T的方程． (2)过x轴上一动点E(a，0)(a>0)作互相垂直的两条 直线，与抛物线T分别相交于点A，B和C，D， 点H，K分别为AB，CD的中点，求△EHK面积的最小值． 1 2 3 4 B 能力素养　强化培优 4．[2023·唐山模拟] 已知椭圆E： ＋y2＝1的右焦点为F，椭圆Γ： ＋y2＝λ . (1)求Γ的离心率． (2)如图，直线l：x＝my－1交椭圆Γ于A，D两点，交椭圆E于B，C两点． ①求证： . ②若λ＝5，求△ABF面积的最大值． 1 2 3 4 感谢聆听，再见！ 解：(1)由题得l的方程为y＝x＋1，将其与x2－＝1联立有消去y得3x2－2x－5＝0，设A(x1，y1)B(x2，y2)，x1＋x2＝ , x1x2＝－，|AB|＝＝＝. (2)由题意，直线l的斜率存在，故设l的方程为y＝kx＋1. 将其与x2－＝1联立有消去y得(4－k2)x2－2kx－5＝0. 因为l与双曲线有两个交点，则 得0≤k2<5且k2≠4.设A(x1，y2)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则＝x0，＝y0. 因为A，B在双曲线上，则有⇒＝⇒＝k. 又M，P(0，1)在直线l上，则k＝. 故＝⇒4x－y＋y0＝0， 由根与系数的关系，有x1＋x2＝，y1＋y2＝. 则M(，). 又y0＝，0≤k2<5且k2≠4，则y0≥1或y0<－4. 综上，点M的轨迹方程为4x2－y2＋y＝0，其中y∈(－∞，－4)∪[1，＋∞). ＋ 解：(1)由题可知解得a2＝6，b2＝2.故椭圆C的方程为＋＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，T到直线x＝3的距离为1. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－2). 联立消去y，得(3k2＋1)x2－12k2x＋12k2－6＝0. 由Δ＝(－12k2)2－4(3k2＋1)(12k2－6)>0及题意，可得k≠0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝. 直线F1A的方程为y＝(x＋2)， 令x＝3，得y＝，则M(3，).同理，N(3，). 因为点M，N位于x轴异侧，所以·<0. 即·＝ ＝＝<0，解得k2>.设线段AB的中点T的横坐标为t，则t＝＝.T到直线x＝3的距离为|3－t|＝＝1＋.由k2>，得3k2＋1>，故1<1＋<.综上，T到直线x＝3的距离的取值范围为[1，). 解：(1)抛物线T：y2＝2px(p>0)的焦点F(，0)，准线x＝－，△PQF为等边三角形，则有|PQ|＝|PF|，而Q为P在动直线x＝t(t<0)上的投影，则t＝－，由S△PQF＝|PF|2sin 60°＝16，解得|PF|＝8.设P(，y0)，则点Q(－，y0)，于是由得解得p＝4，所以抛物线T的方程为y2＝8x. (2)显然直线AB，CD都不与坐标轴垂直，设直线AB的方程为x＝ty＋a，则直线CD的方程为x＝－y＋a，由消去x并整理得 y2－8ty－8a＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8t，于是得弦AB的中点H(4t2＋a，4t)，|EH|＝＝4|t|，同理得|EK| ＝4＝4， 因此，直角△EHK的面积S＝|EH|·|EK|＝·4|t|·4＝8＝8≥8＝16，当且仅当t2＝(t<0)，即t＝－1时取“＝”， 所以△EHK面积的最小值为16. ＝ 解：(1)椭圆Γ：＋y2＝λ(λ>1)的标准方程为＋＝1，则椭圆Γ的离心率为＝. (2)①证明：设A(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l：x＝my－1与＋y2＝λ联立，整理得(2＋m2)y2－2my＋1－2λ＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，则AD的中点坐标为(，)，同理可知BC的中点坐标为(