(配套课件)高分小卷 解答题3 立体几何-【精彩三年·高考尖峰】2024高考总复习数学一轮复习基础拓展训练教师用书word+课件PPT（浙江专用）

高分小卷 解答题3 立体几何 [时间：90分钟] 1．[2021·新高考Ⅰ卷] 如图，在三棱锥A­BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD. (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E­BC­D的大小为45°，求三棱锥A­BCD的体积． 解：(1)∵AB＝AD，O为BD的中点， ∴AO⊥BD. 1 2 3 4 5 6 A新全国Ⅰ卷真题演练含类似新高考省份真题 ∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， ∴AO⊥平面BCD. ∵CD⊂平面BCD，∴AO⊥CD. (2)取OD的中点F，连接CF， ∵△OCD为正三角形，∴CF⊥OD.过O作OM∥CF与BC交于点M，则OM⊥OD，∴OM，OD，OA两两垂直，以O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则B(0，－1，0)， 2. [2022·新高考Ⅱ卷] 如图，PO是三棱锥P­ABC的高， PA＝PB，AB⊥AC，E是PB的中点． (1)求证：OE∥平面PAC. (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C­AE­B的正弦值． 解：(1)连接BO并延长交AC于点D，连接OA，PD， 如图1，因为PO是三棱锥P­ABC的高，所以PO⊥平 面ABC，AO，BO⊂平面ABC，所以PO⊥AO，PO⊥BO. 1 2 3 4 5 6 又PA＝PB，所以△POA≌△POB，即OA＝OB，所以∠OAB＝∠OBA. 又AB⊥AC，即∠BAC＝90°，所以∠OAB＋∠OAD＝90°，∠OBA＋∠ODA＝90°， 所以∠ODA＝∠OAD，所以AO＝DO，即AO＝DO＝OB，所以O为BD的中点．又E为PB的中点，所以OE∥PD.又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，所以OE∥平面PAC. 3．[2020·新高考Ⅰ卷]如图，四棱锥P­-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明：l⊥平面PDC. (2)已知PD＝AD＝1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成 角的正弦值的最大值． 解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD∥BC， 因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC.又因为AD⊂平面PAD， 1 2 3 4 5 6 平面PAD∩平面PBC＝l，所以AD∥l. 因为在四棱锥P­-ABCD中，底面ABCD是正方形， 所以AD⊥DC， ∴l⊥DC，且PD⊥平面ABCD， 所以AD⊥PD，∴l⊥PD.因为CD∩PD＝D， 所以l⊥平面PDC. 4．[2023·武汉调研] 如图，圆台上底面圆O1的半径为1，下底面圆O2的半径为 ，AB为圆台下底面的一条直径，圆O2上点C满足AC＝BC，PO1是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面ABO1的同侧，且PO1∥BC. (1)证明：平面PAC⊥平面ABC. (2)若圆台的高为2，求直线AO1与平面PBC所成角的正弦值． 1 2 3 4 5 6 B新全国Ⅰ卷地区模拟题演练 1 2 3 4 5 6 5．[2023·苏州模拟] 在四棱台ABCD-­A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且侧棱AA1⊥底面ABCD，AA1＝AD＝2A1D1＝4，O，E分别是AC与DD1的中点． (1)证明：OE∥平面A1BD1. (2)求CC1与平面A1BD1所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接BD，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点．在△BDD1中，因为O，E分别为BD，DD1的中点，所以OE∥BD1.又因为OE⊄平面A1BD1，且BD1⊂平面A1BD1，所以OE∥平面A1BD1. (2)因为AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD， 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得A(0，0，0)，B(4，0，0)， A1(0，0，4)，D1(0，2，4)，C(4，4，0)， C1(2，2，4)， 则A1D1＝(0，2，0)，A1B＝(4，0，－4)，CC1＝(－2，－2，4)， 6．[2023·南京模拟] 如图，三角形ABC是边长为3的等边三角形，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC边的中点，AM交EF于点O，沿EF将三角形AEF折到DEF的位置，使DM＝ . (1)证明：DO⊥平面EFCB. (2)若平面EFCB内的直线EN∥平面DOC，且与边BC交于点N，问在线段DM上是否存在点P，使二面角P­EN­B的大小为60°？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由． 1 2 3 4 5 6 由