第七章 3 独立性检验问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§3　独立性检验问题 [学习目标]　1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义．　2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用．　3.会用独立性检验解决简单的实际问题． 知识点一　2×2列联表 某校高三年级在一次全年级的大型考试中，数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示， 物理优秀 化学优秀 总分优秀 数学优秀 228 225 267 数学非优秀 143 156 99 注：该年级此次考试中数学成绩优秀的有360人，非优秀的有880人． 试问数学成绩优秀与物理、化学优秀有关系吗？你想用什么统计量来支持你的观点？ 提示：有关系，用2×2列联表的独立性检验这个统计量进行统计分析． 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝1；变量B：B1，B2＝1，则2×2列联表为 　　　B　 　A　　　 B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 其中，a表示变量A取A1，且变量B取B1时的数据；b表示变量A取A1，且变量B取B2时的数据；c表示变量A取A2，且变量B取B1时的数据；d表示变量A取A2，且变量B取B2时的数据． [微提醒]　(1)2×2列联表主要用于研究两个变量之间是相互独立的还是存在某种关联性，它适用于分析两个变量之间的关系． (2)2×2列联表有助于直观地观测数据之间的关系． 下面是2×2列联表． B A B1 B2 总计 A1 33 21 54 A2 a 13 46 总计 b 34 100 (1)表中a，b处的值应为多少？ 解析：(1)a＝46－13＝33，b＝33＋a＝33＋33＝66. (2)若用频率估计概率，则P(A1)、P(B1)、P(A1B1)分别是多少？ (2)P(A1)＝，P(B1)＝，P(A1B1)＝. (3)表中的数据能说明A1与B1相互独立吗？ (3)因为P(A1)×P(B1)＝×≈＝P(A1B1)，所以表中的数据能说明A1与B1相互独立． 若＝•成立，则可以认为A1与B1相互独立． 若＝•成立，则可以认为A1与B2相互独立． 若＝•成立，则可以认为A2与B1相互独立． 若＝•成立，则可以认为A2与B2相互独立． 方法技巧 由于频率不同于概率，即使变量A与B相互独立，式子两边也不一定相等．但是当两边相差很大时，变量A，B之间就不独立． 学生用书第186页 即时练1.在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用与判断二者是否有关系． 解析：2×2列联表如下： 　　年龄 饮食习惯　　　 年龄在六十 岁以上 年龄在六十 岁以下 总计 饮食以蔬菜为主 43 21 64 　　年龄 饮食习惯　　　 年龄在六十 岁以上 年龄在六十 岁以下 总计 饮食以肉类为主 27 33 60 总计 70 54 124 将表中数据代入公式得 ＝＝0.671 875. ＝＝0.45. 显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系． 知识点二　独立性检验的基本思想 当与•相差很大时，变量A与B之间就不独立，那么如何用一个统计量的大小来检验变量之间是否独立？ 提示：χ2＝. 独立性检验的基本思想 (1)定义：利用随机变量χ2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验． (2)公式：χ2＝， 其中n＝a＋b＋c＋d． (3)当数据量较大时，在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断． ①当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的； ②当χ2＞2.706时，有90%的把握判断变量A，B有关联； ③当χ2＞3.841时，有95%的把握判断变量A，B有关联； ④当χ2＞6.635时，有99%的把握判断变量A，B有关联． [微提醒]　通过计算求得χ2的值与临界值比较得到“有99%的把握判断变量A与B有关联”是指“两个变量有关”结论成立的可信程度约为99%，也就是说用独立性检验得到的统计结果只是说明了两个变量有关的程度． (链接教材P247例1)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表： 　　　　SO2 PM2.5　　 [0，50