第七章 2 成对数据的线性相关性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§2　成对数据的线性相关性 [学习目标]　1.结合实例了解样本相关系数的统计含义．　2.了解样本相关系数与“标准化”成对数据向量夹角的关系．　3.结合实例，会通过相关系数比较多组成对数据的相关性． 知识点　相关系数 给定两个随机变量(X，Y)的7组成对数据：(1，0)，，(0，1)，，(－1，0)，，(0，－1)，利用最小二乘法，可以得到Y关于X的线性回归方程为Y＝0.143X＋0.102. X和Y是否具有线性关系？ 提示：这7组成对数据均位于单位圆上，所以X和Y不具备线性关系． 1．(线性)相关系数 一般地，设随机变量X，Y的n组观测值分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，记r＝ ＝， 学生用书第182页 称r为随机变量X和Y的样本(线性)相关系数． 为了计算的方便，我们再给出如下式子： r＝ . 2．相关系数的含义及性质 (1)样本(线性)相关系数r的取值范围为[－1，1]． (2)|r|值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强；|r|值越接近0，随机变量之间的线性相关程度越弱． ①当r＞0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相同，此时称两个随机变量正相关； ②当r＜0时，两个随机变量的值总体上变化趋势相反，此时称两个随机变量负相关； ③当r＝0时，此时称两个随机变量线性不相关． 假设关于某种服装的进价X(单位：百元)与售价Y(单位：百元)有如下统计资料： X 2 3 4 5 6 Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 计算Y与X之间的样本相关系数．(精确到0.001，已知＝90，≈140.8，iyi＝112.3，≈8.9，≈1.4) 解析：因为 ＝＝4， ＝＝5. iyi－5＝112.3－5×4×5＝12.3， －5T2＝90－5×42＝10， －52≈140.8－5×52＝15.8， 所以r＝ ＝＝＝ ≈≈0.987. 方法技巧 样本相关系数的计算步骤 第一步：求出，的值； 第二步：求出(xi－T)(yi－T)，(xi－T)2，(yi－T)2的值； 第三步：代入公式计算得结果． 即时练1.暑期社会实践中，小娴所在的小组调查了某地家庭人口数X与每天对生活必需品的消费Y的情况，得到的数据如下表： X/人 2 4 5 6 8 Y/元 20 30 50 50 70 计算Y与X之间的样本相关系数．(精确到0.001) 参考数据：≈4.359. 解析：由表中数据， 计算得T＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5， T＝×(20＋30＋50＋50＋70)＝44， ＝22＋42＋52＋62＋82＝145， ＝202＋302＋502＋502＋702＝11 200， iyi＝2×20＋4×30＋5×50＋6×50＋8×70＝1 270，代入r的计算公式得 r＝＝≈0.975. 为了对2023年某校月考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机抽取8位，他们的数学、物理成绩对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩X 68 72 78 81 85 88 91 93 物理成绩Y 70 66 81 83 79 80 92 89 用变量Y与X的样本相关系数r(精确到0.01)说明物理成绩Y与数学成绩X的线性相关程度的强弱，并说明它们的变化趋势特征． 参考数据：iyi＝52 957，•≈545.82. 解析：＝＝82， ＝＝80， r＝≈≈0.87＞0. 所以物理成绩Y与数学成绩X的线性相关程度较强，且呈正相关，它们的变化趋势相同． 学生用书第183页 　　方法技巧 相关系数的关注点 1．相关系数可以反映两个变量之间的线性相关程度，即散点集中于一条直线的程度，其符号反映了相关关系的正负性． 2．变量间是否具有线性相关关系，可通过散点图或相关系数作出判断，散点图只是粗略作出判断，用相关系数能够较准确的判断相关的程度． 即时练2.已知变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)，变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)．r1表示变量X与Y之间的线性相关系数，r2表示变量U与V之间的线性相关系数，则下列结论中正确的是(　　) A．r2＜r1＜0 B．0＜r2＜r1 C．r2＜0＜r1 D．r2＝r1 C　[由变量X与Y相对应的一组数据为(10，1)，(11.3，2)，(11.8，3)，(12.5，4)，(13，5)，可得变量X与Y之间正相关，所以r1＞0；由变量U与V相对应的一组数据为(10，5)，(11.3，4)，(11.8，3)，(12.5，2)，(13，1)，可知变量U与V