第七章 1 一元线性回归-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§1　一元线性回归 [学习目标]　1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义．了解最小二乘法原理．掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件．　2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测． 知识点一　直线拟合 在校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题．”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系．我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 提示：数学成绩与物理成绩这两个变量之间的关系不是函数关系，而是相关关系． 1．散点图 如图，每个点对应的一对数据(xi，yi)，称为成对数据．这些点构成的图称为散点图． 2．曲线拟合、直线拟合 (1)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述．这样近似描述的过程称为曲线拟合． (2)若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合． 5个学生的数学和物理成绩如下表： 学生 学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 画出散点图，并判断它们是否适合直线拟合． 解析：以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示． 由散点图可见，所有点都在一条直线附近波动，适合直线拟合． 　　方法技巧 　　判断变量是否适合直线拟合，一种常见的方法是绘制散点图，散点图是分析研究两个变量是否适合直线拟合的重要手段．从散点图中，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量是可以直线拟合的． 即时练1.下列各选项中两个变量x，y可以利用直线拟合的是(　　) C　[C中各点分布在某条直线周围，因此可以利用直线拟合．故选C．] 学生用书第179页 知识点二　一元线性回归方程 在两个变量X和Y的散点图中，若所有的点在一条直线附近波动，可以用一条直线拟合这两个量之间的关系，应如何求这条直线的方程呢？ 提示：直线方程Y＝＋X， 其中＝， ＝－. 1．最小二乘法 对于给定的两个变量X和Y，可以把其成对的观测值(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示为平面直角坐标系中的n个点．现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi(i＝1，2，…，n)，由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能小．为此，希望[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小，换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小．这个方法称为最小二乘法． 2．线性回归方程 使[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2达到最小的a，b取值为 ＝， ＝－． 其中，＝(x1＋x2＋…＋xn)，＝(y1＋y2＋…＋yn)． 这时直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，相应的直线称作Y关于X的回归直线，，是这个线性回归方程的系数． [微提醒]　(1)经验回归直线一定过点(，)． (2)Y与X正相关的充要条件是＞0；Y与X负相关的充要条件是＜0. (3)当X增大一个单位时，Y增大个单位，这就是回归系数的实际意义． (链接教材P231例1)某种产品的广告费用支出X(单位：百万元)与销售额Y(单位：百万元)之间有如下的对应数据． X/百万元 2 4 5 6 8 Y/百万元 30 40 60 50 70 (1)画出散点图； 解析：(1)散点图如图所示． (2)求Y关于X的线性回归方程； 解析：(2)列出表格． i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 4 5 6 8 25 yi 30 40 60 50 70 250 xiyi 60 160 300 300 560 1 380 x 4 16 25 36 64 145 求得＝＝5，＝＝50， 于是可得＝＝＝6.5， ＝－＝50－6.5×5＝17.5， 所以所求的线性回归方程为Y＝17.5＋6.5X. (3)试预测广告费用支出为10百万元时的销售额． 解析：(3)根据(2)中求得的线性回归方程，可得当广告费用支出为10百万元时，Y＝6.5×10＋17.5＝82.5(百万元)， 即广告费用支出为10百万元时，销售额估计为82.5百万元． 方法技巧 求线性回归方程的步骤 第一步：作出散点图，判断两变量是否具有线性关系，若具有线性关系，则可求其线性回归方程； 第二步：列表求出，，，iyi的值； 第三步