第六章 3.1 离散型随机变量的均值-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

§3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值 [学习目标]　1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质．　2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值．　3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题． 知识点　离散型随机变量的均值 有一组数据，其中有3个1，2个2，1个3，这组数据的平均数是多少？从中任取一个数据，用X表示这个数据，X的可能取值有哪些？X取每个值的概率是多少？将X的每个值与其对应的概率相乘，求其所有积的和与上面求得的平均数相比较，有什么发现？ 提示：这组数据的平均数是＝. X的可能取值为1，2，3，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝，则1×＋2×＋3×＝，发现所有积的和与这组数据的平均数相等． 1．离散型随机变量的均值定义 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)． 2．离散型随机变量的均值的意义 均值EX(或数学期望)刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征． 3．离散型随机变量的均值性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b． [微提醒]　(1)离散型随机变量的均值是刻画离散型随机变量取值的平均水平的指标． (2)由定义可知离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位． (3)均值是一个常数，在大量试验下，它总是稳定的，不具有随机性． 已知随机变量X的分布列为： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求EX； 解析：(1)由随机变量分布列的性质，得 ＋＋＋m＋＝1，解得m＝， 所以EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－. (2)若Y＝2X－3，求EY. 解析：(2)法一：由公式E(aX＋b)＝aEX＋b，得 EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×(－)－3＝－. 法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P 所以EY＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－. 　　方法技巧 与离散型随机变量性质有关问题的解题思路 若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出EX，再利用公式E(aX＋b)＝aEX＋b求Eξ.也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得Eξ. 即时练1.已知随机变量ξ的分布列为 ξ 0 2 4 P 0.4 0.3 0.3 则E(5ξ＋4)等于(　　) A．2.2 B．2.3 C．11 D．13 D　[由已知，得Eξ＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8，所以E(5ξ＋4)＝5Eξ＋4＝5×1.8＋4＝13.故选D．] 学生用书第157页 (链接教材P199 例3)2022年冬奥会在北京举行．小张在比赛开幕后前往现场观看．已知小张喜欢观看的滑雪项目有四种，喜欢观看的滑冰项目有五种，且由于赛程的原因，小张只能在以上九个项目中随机选择其中的六项进行观看．假设小张观看滑雪的项目数为随机变量X，求X的分布列和数学期望． 解析：由题意知，X的可能取值为1，2，3，4， 所以P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， 故X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以数学期望EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 　　方法技巧 求离散型随机变量均值的一般步骤 第一步：“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值； 第二步：“探求概率”，即求出随机变量取每个值时的概率； 第三步：“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步：“求均值”，利用均值的定义求均值． 即时练2.(2022•浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，Eξ＝________． 解析：若ξ＝2，则3张卡片最小数字为2的事件为“取到1个2”与“取到2个2”，共有C•C＋C•C＝16(种)情况，故P(ξ＝2)＝＝.又P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，因此随机变量ξ的期望Eξ＝1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＋4×P(ξ＝4)＝＝. 答案：　 即时练3.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者