第六章 1.2 乘法公式与事件的独立性-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

1.2　乘法公式与事件的独立性 [学习目标]　1.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系．　2.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率．　3.能够借助乘法公式、事件的独立性和互斥事件的概率加法公式解决实际问题． 知识点一　乘法公式 上一节课已经学习了条件概率，那么对于条件概率如何变形？ 提示：由条件概率的定义P(B|A)＝， 则有P(AB)＝P(B|A)P(A)(其中P(A)＞0)， P(AB)＝P(A|B)P(B)(其中P(B)＞0)． 由条件概率的定义P(B|A)＝，则有P(AB)＝P(B|A)P(A)(其中P(A)＞0)． 同理，P(AB)＝P(A|B)P(B)(其中P(B)＞0)．称以上公式为乘法公式． [微提醒]　根据概率的乘法公式，已知事件A发生的概率，以及在事件A发生的条件下事件B发生的概率，可以求出A与B同时发生的概率． (链接教材P181例3)袋中装有4个红球，5个白球，从中不放回地任取两次，每次取一个球． (1)求在第一次取出的是红球的条件下，第二次取出的也是红球的概率； 解析：(1)设事件Ai，表示“第i次取出的是红球”(i＝1，2)． 则P(A1)＝，P(A1A2)＝＝， 所以P(A2|A1)＝＝＝. (2)求第二次才取到红球的概率． 解析：(2)第二次才取到红球，即第一次取到白球，第二次取到红球， 所以P(1A2)＝P(1)P(A2|1)＝×＝. 　　方法技巧 乘法公式的作用 乘法公式P(AB)＝P(B|A)P(A)的作用就是方便我们在不好直接求得P(AB)的情况下，先迂回地求出方便计算的P(B|A)和P(A)，再求得P(AB)． 学生用书第145页 即时练1.把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A1，3个球标有字母B1；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个，试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A1的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B1的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． 解析：设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A1的球”， B＝“从第一个盒子中取得标有字母B1的球”， R＝“第二次取出的球是红球”，则容易求得P(A)＝， P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝＝. 事件“试验成功”为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得 P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59. 知识点二　相互独立事件 俗话说，三个臭皮匠抵一个诸葛亮，能抵上吗？已知诸葛亮能解出某道题的概率为0.85，甲、乙、丙能解出该题的概率分别为0.4，0.5，0.6. 问题：　试比较臭皮匠团队解出该道题与诸葛亮解出该道题的概率的大小． 提示：P1＝0.85，P2＝1－(1－0.4)(1－0.5)(1－0.6)＝1－0.12＝0.88，所以P2＞P1，所以三个臭皮匠抵一个诸葛亮． 1．如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件就叫作相互独立事件． 2．事件A与事件B相互独立⇔P(AB)＝P(A)P(B)． [微提醒]　(1)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任何一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称事件A1，A2，…，An相互独立． (2)公式P(AB)＝P(A)P(B)可以推广到一般情形：如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 判断下列各对事件是否是相互独立事件： (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； 解析：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； 解析：(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 解析：(3)法一：记事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现3点或6点”，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}