第六章 4.2 超几何分布-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修1同步课堂高效讲义教师用书（北师大版）

4.2　超几何分布 [学习目标]　1.通过具体实例，了解超几何分布及其均值，能够判断随机变量是否服从超几何分布．　2.能够利用随机变量服从超几何分布的知识解决简单的实际问题，会求服从超几何分布的随机变量的均值与方差． 知识点一　超几何分布 已知在8件产品中有3件次品，现从8件产品中任取3件产品，用X表示取到的次品数，X可取哪些值？P(X＝2)的值呢？如何求P(X＝k)? 提示：X可能取值为0，1，2，3.P(X＝2)＝.P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)． 超几何分布：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． [微提醒]　对超几何分布的理解 (1)“任取n件”应理解为“一次抽取n件”或“不放回地逐一抽取n件”，不能理解为“有放回地抽取n件”．这是区分二项分布与超几何分布的一个主要标准． (2)“X＝k”表示从含有M件次品的N件产品中抽取n件，其中含有k件次品这一随机事件．N件产品分为两类：次品，正品．所抽取的n件产品由这两类产品中的一部分组成，即CC 种情况(基本事件数)，所以P(X＝k)＝. 30件产品中，有15件一等品，10件二等品，5件三等品，现随机地抽取5件，下列不服从超几何分布的是(　　) A．抽取的5件产品中的一等品数 B．抽取的5件产品中的二等品数 C．抽取的5件产品中的三等品数 D．30件产品中的三等品数 D　换换换[A，B，C中的产品都是变量，且满足超几何分布的形式与特点；而D中的产品数是常数，不是变量，故选D．] 　　方法技巧 “超几何分布”模型的识别、判断 “超几何分布”是常见的概率模型，广泛地取材于现实生活、生产实践中的问题，如产品中的合格品与不合格品、盒中的红球与黑球、学生中的男生与女生等等．应用“超几何分布”模型求概率，关键在于这种模型的识别与判断．具体来说，这类问题的特点为 (1)总体中含有两类不同的个体； (2)不放回抽取，且无先后顺序； (3)随机变量是指从总体中所抽取的n个个体中某一类个体的数量． 即时练1.(多选)一袋中有除颜色、编号外完全相同的10个球，其中有6个黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是(　　) A．取出的最大号码X服从超几何分布 B．取出的黑球个数Y服从超几何分布 学生用书第167页 C．取出2个白球的概率为 D．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为 BD　换换换[由超几何分布的概念知A错误、B正确；对于C，取出2个白球的概率为P＝＝，故C错误；对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，所以总得分最大的概率为P＝＝，故D正确．故选BD．] (链接教材P211例4)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； 解析：(1)P＝＝＝，即该顾客中奖的概率为. (2)该顾客获得的奖品总价值X(单位：元)的概率分布列． 解析：(2)X的所有可能取值为0，10，20，50，60，且P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，P(X＝60)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 10 20 50 60 P 　　方法技巧 求超几何分布的分布列的步骤 第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值； 第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率； 第三步：用表格的形式列出分布列． 即时练2.某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； 解析：(1)设事件A：选派的3人中恰有2人会法语，则P(A)＝＝. (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列． 解析：(2)依题意知，X服从超几何分布，X的可能取值为0，1，2，3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 知识点二　超几何分布的均值与方差 当随机变量X服从二项分布时，其均值为EX＝np，那么服从超几何分布时，均值是什么？ 提示：当随机变量X服从超